如图，在以 A, B, C, D, E, F 为顶点的五面…——2024 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）证明见详解；
②$\frac{6 \sqrt{13}}{13}$

## 【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形 $B C D M$ 为平行四边形，可证 $B M / / C D$ ，进而得证；

（2）作 $F O \perp A D$ ，连接 $O B$ ，易证 $O B, O D, O F$ 三垂直，结合等体积法 $V_{M-A B F}=V_{F-A B M}$ 即可求解．

## 【小问 1 详解】

因为 $B C / / A D, B C=2, A D=4, M$ 为 $A D$ 的中点，所以 $B C / / M D, B C=M D$ ，
四边形 $B C D M$ 为平行四边形，所以 $B M / / C D$ ，
又因为 $B M \not \subset$ 平面 $C D E, C D \subset$ 平面 $C D E$ ，所以 $B M / /$ 平面 $C D E$ ；
【小问 2 详解】
如图所示，作 $B O \perp A D$ 交 $A D$ 于 $O$ ，连接 $O F$ ，因为四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，$B C / / A D, A D=4$ ， $A B=B C=2$ ，所以 $C D=2$ ，

结合①$B C D M$ 为平行四边形，可得 $B M=C D=2$ ，
又 $A M=2$ ，所以 $\triangle A B M$ 为等边三角形，$O$ 为 $A M$ 中点，所以 $O B=\sqrt{3}$ ，

又因为四边形 $A D E F$ 为等腰梯形，$M$ 为 $A D$ 中点，所以 $E F=M D, E F / / M D$ ，
四边形 $E F M D$ 为平行四边形，$F M=E D=A F$ ，所以 $\triangle A F M$ 为等腰三角形，
$\triangle A B M$ 与 $\triangle A F M$ 底边上中点 $O$ 重合，$O F \perp A M, O F=\sqrt{A F^{2}-A O^{2}}=3$ ，
因为 $O B^{2}+O F^{2}=B F^{2}$ ，所以 $O B \perp O F$ ，所以 $O B, O D, O F$ 互相垂直，

由等体积法可得 $V_{M-A B F}=V_{F-A B M}, V_{F-A B M}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B M} \cdot F O=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^{2} \cdot 3=\sqrt{3}$ ，
$\cos \angle F A B=\frac{F A^{2}+A B^{2}-F B^{2}}{2 F A \cdot A B}=\frac{(\sqrt{10})^{2}+2^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2}=\frac{1}{2 \sqrt{10}}, \sin \angle F A B=\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{10}}$,
$S_{\triangle F A B}=\frac{1}{2} F A \cdot A B \cdot \sin \angle F A B=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{10}}=\frac{\sqrt{39}}{2}$ ，
设点 $M$ 到 $F A B$ 的距离为 $d$ ，则 $V_{M-F A B}=V_{F-A B M}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle F A B} \cdot d=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} \cdot d=\sqrt{3}$ ，
解得 $d=\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ ，即点 $M$ 到 $A B F$ 的距离为 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ ．