（14分）（2016•浙江）在 ABC 中，内角 A ,…——2016 高考数学第 16 题答案解析

【分析】①由 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{acos} \mathrm{B}$ ，利用正弦定理可得： $\sin \mathrm{B}+\mathrm{sin} \mathrm{C}=2 \mathrm{sin} \mathrm{Acos} \mathrm{B}$ ，而 $\mathrm{sin} \mathrm{C}=\mathrm{sin}$ （ $A+B$ ）$=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ ，代入化简可得： $\sin B=\sin (A-B)$ ，由 $A, B \in(0, \pi)$ ，可得 $0（II） $\cos \mathrm{B}=\frac{2}{3}$ ，可得 $\sin \mathrm{B}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{~B}} \cdot \cos \mathrm{~A}=\cos 2 \mathrm{~B}=2 \cos ^{2} \mathrm{~B}-1, \sin \mathrm{~A}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}$ 。利用 $\cos C=-\cos (A+B)=-\cos A \cos B+\sin A \sin B$ 即可得出。
【解答】（1）证明：$\because b+c=2 a \cos B$ ，
∴ $\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}=2 \sin \mathrm{Acos} \mathrm{B}$ ，
$\because \sin \mathrm{C}=\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\sin \mathrm{Acos} \mathrm{B}+\cos \mathrm{Asin} \mathrm{B}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{B}=\sin \mathrm{Acos} \mathrm{B}-\cos \mathrm{Asin} \mathrm{B}=\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})$ ，由 $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in(0, \pi)$ ，
$\therefore 0$\therefore \mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$ ．
（II）解： $\cos \mathrm{B}=\frac{2}{3}, \therefore \sin \mathrm{~B}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{~B}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ．
$\cos \mathrm{A}=\cos 2 \mathrm{~B}=2 \cos ^{2} \mathrm{~B}-1=-\frac{1}{9}, \quad \sin \mathrm{~A}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{4 \sqrt{5}}{9}$ ．
$\therefore \cos \mathrm{C}=-\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})=-\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\sin \mathrm{Asin} \mathrm{B}=-\frac{2}{3} \times\left(-\frac{1}{9}\right)+\frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{4 \sqrt{5}}{9}=\frac{22}{27}$ ．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。