（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中， P A…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积； LS ：直线与平面平行．
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离

【分析】（ I ）取 $B C$ 中点 $E$ ，连结 $E N, E M$ ，得 $N E$ 是 $\triangle P B C$ 的中位线，推导出四边形 ABEM 是平行四边形，由此能证明 $\mathrm{MN} \|$ 平面 PAB ．
（II）取 $A C$ 中点 $F$ ，连结 $N F, N F$ 是 $\triangle P A C$ 的中位线，推导出 $N F \perp$ 面 $A B C D$ ，延长 $B C$至 $G$ ，使得 $G G=A M$ ，连结 $G M$ ，则四边形 $A G C M$ 是平行四边形，由此能求出四面体 $\mathrm{N}-\mathrm{BCM}$ 的体积。

【解答】证明：（ I ）取BC中点E，连结EN，EM，
$\because N$ 为 $P C$ 的中点，$\therefore N E$ 是 $\triangle P B C$ 的中位线
$\therefore N E \| P B$ ，
又 $\because A D\|B C, \therefore B E\| A D$ ，
$\because A B=A D=A C=3, P A=B C=4, M$ 为线段 $A D$ 上一点，$A M=2 M D$ ，
$\therefore \mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=\mathrm{AM}=2$ ，
∴ 四边形ABEM是平行四边形，
$\therefore E M \| A B, \quad \therefore$ 平面 $N E M \|$ 平面 $P A B$ ，
$\because \mathrm{MN} \subset$ 平面 $\mathrm{NEM}, \therefore \mathrm{MN} \|$ 平面 PAB 。
解：（ II ）取AC中点F，连结NF，
$\because N F$ 是 $\triangle P A C$ 的中位线，
$\therefore \mathrm{NF} \| \mathrm{PA}, \quad \mathrm{NF}=\frac{1}{2} \mathrm{PA}=2$ ，

又 $\because \mathrm{PA} \perp$ 面 ABCD ，$\therefore \mathrm{NF} \perp$ 面 ABCD ，
如图，延长 BC 至 G ，使得 $\mathrm{CG}=\mathrm{AM}$ ，连结 GM ，
$\because \mathrm{AM} \underline{\underline{/ /} \mathrm{CG}, \therefore \text { 四边形AGCM是平行四边形，}}$
$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{MG}=3$ ，
又 $\because M E=3, E C=C G=2$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{MEG}$ 的高 $\mathrm{h}=\sqrt{5}$ ，
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BCM}}=\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{h}=\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5}=2 \sqrt{5}$ ，
∴ 四面体 $N-B C M$ 的体积 $V_{N-B C M}=\frac{1}{3} \times S_{\triangle B C M} \times N F=\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{5} \times 2=\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ ．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养。