2023_全国甲卷 (2023·文)
22．已知点 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{c}x=2+t \cos \alpha, \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A, B$ ，且 $|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．
【答案】①$\frac{3 \pi}{4}$
②$\rho \cos \alpha+\rho \sin \alpha-3=0$
## 【解析】
【分析】（1）根据 $t$ 的几何意义即可解出；
（2）求出直线 $l$ 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
## 【小问 1 详解】
因为 $l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴正半轴交于 $A, B$ 两点，所以 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ ，
令 $x=0, t_{1}=-\frac{2}{\cos \alpha}$ ，令 $y=0, t_{2}=-\frac{1}{\sin \alpha}$ ，
所以 $|P A||P B|=\left|t_{2} t_{1}\right|=\left|\frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha}\right|=\left|\frac{4}{\sin 2 \alpha}\right|=4$ ，所以 $\sin 2 \alpha= \pm 1$ ，
即 $2 \alpha=\frac{\pi}{2}+k \pi$ ，解得 $\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，
因为 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ ，所以 $\alpha=\frac{3 \pi}{4}$ ．
## 【小问 2 详解】
由①可知，直线 $l$ 的斜率为 $\tan \alpha=-1$ ，且过点 $(2,1)$ ，
所以直线 $l$ 的普通方程为：$y-1=-(x-2)$ ，即 $x+y-3=0$ ，
由 $x=\rho \cos \alpha, y=\rho \sin \alpha$ 可得直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \alpha+\rho \sin \alpha-3=0$ ．