设函数 f(x)=(x-1)^ 2 (x-4)，则（）——2024 高考数学第 10 题答案解析

【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数 $f(x)$ 的导数，得到极值点，即可判断 A ；利用函数的单调性可判断 B ；根据函数 $f(x)$

在 $(1,3)$ 上的值域即可判断 C；直接作差可判断 D。
【详解】对 A ，因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，而 $f^{\prime}(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)^{2}=3(x-1)(x-3)$ ，易知当 $x \in(1,3)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，当 $x \in(-\infty, 1)$ 或 $x \in(3,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$

函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上单调递增，在 $(1,3)$ 上单调递减，在 $(3,+\infty)$ 上单调递增，故 $x=3$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，正确；

对 B ，当 $0<x<1$ 时，$x-x^{2}=x(1-x)>0$ ，所以 $1>x>x^{2}>0$ ，
而由上可知，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，所以 $f(x)>f\left(x^{2}\right)$ ，错误；
对 C，当 $1<x<2$ 时， $1<2 x-1<3$ ，而由上可知，函数 $f(x)$ 在 $(1,3)$ 上单调递减，
所以 $f(1)>f(2 x-1)>f(3)$ ，即 $-4<f(2 x-1)<0$ ，正确；
对 D，当 $-1<x<0$ 时，$f(2-x)-f(x)=(1-x)^{2}(-2-x)-(x-1)^{2}(x-4)=(x-1)^{2}(2-2 x)>0$ ，
所以 $f(2-x)>f(x)$ ，正确；
故选：ACD。