在 A B C 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$\frac{\sqrt{5}}{5}$ ；
（2） 22 ．
【解析】
【分析】（1）先由平方关系求出 $\sin C$ ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$ 以及 $4 a=\sqrt{5} c$ 可解出 $a$ ，即可由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2} a b \sin C$ 求出面积．

【小问 1 详解】

由于 $\cos C=\frac{3}{5}, 0<C<\pi$ ，则 $\sin C=\frac{4}{5}$ ．因为 $4 a=\sqrt{5} c$ ，
由正弦定理知 $4 \sin A=\sqrt{5} \sin C$ ，则 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{4} \sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

【小问 2 详解】

因为 $4 a=\sqrt{5} c$ ，由余弦定理，得 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{a^{2}+121-\frac{16}{5} a^{2}}{22 a}=\frac{11-\frac{a^{2}}{5}}{2 a}=\frac{3}{5}$ ，
即 $a^{2}+6 a-55=0$ ，解得 $a=5$ ，而 $\sin C=\frac{4}{5}, b=11$ ，
所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 5 \times 11 \times \frac{4}{5}=22$ ．