（4分）已知正四棱锥 O - ABCD 的体积为 3 2…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 $O-A B C D$ 的高，再利用直角三角形求出正四棱锥 $O-A B C D$ 的侧棱长 $O A$ ，最后根据球的表面积公式计算即得。
【解答】解：如图，正四棱锥 $\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$ 的体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{sh}=\frac{1}{3}(\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \times \mathrm{OH}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $\therefore \mathrm{OH}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，
在直角三角形 OAH ， $\mathrm{OA}=\sqrt{\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{AH}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}$
所以表面积为 $4 \pi r^{2}=24 \pi$ ；
故答案为： $24 \pi$ ．

【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．