2016_浙江卷 (2016·文)
15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=1$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 为平面单位向量，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|+|\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|$ 的最大值是＿$\sqrt{7} \_$。
【分析】由题意可知，$|\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|+|\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|$ 为 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 在 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 上的投影的绝对值与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 在 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 上投影的绝对值的和，由此可知，当 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 共线时，$|\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|+|\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|$ 取得最大值，即 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ ．
【解答】解：$|\vec{a} \cdot \vec{e}|+|\vec{b} \cdot \vec{e}|=\left|\frac{\vec{a} \cdot \vec{e}}{|\vec{e}|}\right|+\left|\frac{\vec{b} \cdot \vec{e}}{|\vec{e}|}\right|$ ，
其几何意义为 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 在 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 上的投影的绝对值与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 在 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 上投影的绝对值的和，
当 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 共线时，取得最大值．
$\therefore(|\vec{a} \cdot \vec{e}|+|\vec{b} \cdot \vec{e}|)_{\max }=|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}}=\sqrt{7}$ ．
故答案为：$\sqrt{7}$ ．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题。