2023_全国乙卷 (2023·理)
22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ，曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数，$\left.\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ ．
（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线 $y=x+m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．
【答案】①$x^{2}+(y-1)^{2}=1, x \in[0,1], y \in[1,2]$
②$(-\infty, 0) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$
## 【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意 $x, y$ 的取值范围；
（2）根据曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的方程，结合图形通过平移直线 $y=x+m$ 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可．
## 【小问 1 详解】
因为 $\rho=2 \sin \theta$ ，即 $\rho^{2}=2 \rho \sin \theta$ ，可得 $x^{2}+y^{2}=2 y$ ，
整理得 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，表示以 $(0,1)$ 为圆心，半径为 1 的圆，
又因为 $x=\rho \cos \theta=2 \sin \theta \cos \theta=\sin 2 \theta, y=\rho \sin \theta=2 \sin ^{2} \theta=1-\cos 2 \theta$ ，
且 $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ ，则 $\frac{\pi}{2} \leq 2 \theta \leq \pi$ ，则 $x=\sin 2 \theta \in[0,1], y=1-\cos 2 \theta \in[1,2]$ ，
故 $C_{1}: x^{2}+(y-1)^{2}=1, x \in[0,1], y \in[1,2]$ ．
## 【小问 2 详解】
因为 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数，$\left.\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ ，
整理得 $x^{2}+y^{2}=4$ ，表示圆心为 $O(0,0)$ ，半径为 2 ，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线 $y=x+m$ 过 $(1,1)$ ，则 $1=1+m$ ，解得 $m=0$ ；
若直线 $y=x+m$ ，即 $x-y+m=0$ 与 $C_{2}$ 相切，则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{|m|}{\sqrt{2}}=2 \\ m>0\end{array}\right.$ ，解得 $m=2 \sqrt{2}$ ，
若直线 $y=x+m$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 均没有公共点，则 $m>2 \sqrt{2}$ 或 $m<0$ ，
即实数 $m$ 的取值范围 $(-\infty, 0) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$ ．