( 1 3 +x )^ 10 的展开式中，各项系数的最大值…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】5

【解析】

【分析】先设展开式中第 $r+1$ 项系数最大，则根据通项公式有 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10-r} \geq \mathrm{C}_{10}^{r+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{9-r} \\ \mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10-r} \geq \mathrm{C}_{10}^{r-1}\left(\frac{1}{3}\right)^{11-r}\end{array}\right.$ ，进而求出 $r$ 即可求解．

【详解】由题展开式通项公式为 $T_{r+1}=\mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10-r} x^{r}, 0 \leq r \leq 10$ 且 $r \in \mathbf{Z}$ ，
设展开式中第 $r+1$ 项系数最大，则 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10-r} \geq \mathrm{C}_{10}^{r+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{9-r} \\ \mathrm{C}_{10}^{r}\left(\frac{1}{3}\right)^{10-r} \geq \mathrm{C}_{10}^{r-1}\left(\frac{1}{3}\right)^{11-r}\end{array}\right.$ ，
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}r \geq \frac{29}{4} \\ r \leq \frac{33}{4}\end{array}\right.$ ，即 $\frac{29}{4} \leq r \leq \frac{33}{4}$ ，又 $r \in \mathbf{Z}$ ，故 $r=8$ ，
所以展开式中系数最大的项是第 9 项，且该项系数为 $\mathrm{C}_{10}^{8}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=5$ ．
故答案为： 5 ．