已知 A B C 为等腰直角三角形， A B 为斜边， A…——2023 高考数学第 9 题答案解析

## 【答案】C

## 【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答．
【详解】取 $A B$ 的中点 $E$ ，连接 $C E, D E$ ，因为 $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形，且 $A B$ 为斜边，则有 $C E \perp A B$,

又 $\triangle A B D$ 是等边三角形，则 $D E \perp A B$ ，从而 $\angle C E D$ 为二面角 $C-A B-D$ 的平面角，即 $\angle C E D=150^{\circ}$ ，

显然 $C E \cap D E=E, C E, D E \subset$ 平面 $C D E$ ，于是 $A B \perp$ 平面 $C D E$ ，又 $A B \subset$ 平面 $A B C$ ，
因此平面 $C D E \perp$ 平面 $A B C$ ，显然平面 $C D E \cap$ 平面 $A B C=C E$ ，
直线 $C D \subset$ 平面 $C D E$ ，则直线 $C D$ 在平面 $A B C$ 内的射影为直线 $C E$ ，
从而 $\angle D C E$ 为直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成的角，令 $A B=2$ ，则 $C E=1, D E=\sqrt{3}$ ，在 $\triangle C D E$ 中，由余弦定理得：
$C D=\sqrt{C E^{2}+D E^{2}-2 C E \cdot D E \cos \angle C E D}=\sqrt{1+3-2 \times 1 \times \sqrt{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\sqrt{7}$,
由正弦定理得 $\frac{D E}{\sin \angle D C E}=\frac{C D}{\sin \angle C E D}$ ，即 $\sin \angle D C E=\frac{\sqrt{3} \sin 150^{\circ}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}$ ，
显然 $\angle D C E$ 是锐角， $\cos \angle D C E=\sqrt{1-\sin ^{2} \angle D C E}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}\right)^{2}}=\frac{5}{2 \sqrt{7}}$ ，
所以直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成的角的正切为 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ．
故选：C