曲线 y=x^ 3 -3 x 与 y=-(x-1)^ 2…——2024 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $(-2,1)$

【解析】

【分析】将函数转化为方程，令 $x^{3}-3 x=-(x-1)^{2}+a$ ，分离参数 $a$ ，构造新函数
$g(x)=x^{3}+x^{2}-5 x+1$ ，结合导数求得 $g(x)$ 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解．
【详解】令 $x^{3}-3 x=-(x-1)^{2}+a$ ，即 $a=x^{3}+x^{2}-5 x+1$ ，令 $g(x)=x^{3}+x^{2}-5 x+1(x>0)$ ，
则 $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 x-5=(3 x+5)(x-1)$ ，令 $g^{\prime}(x)=0(x>0)$ 得 $x=1$ ，
当 $x \in(0,1)$ 时，$g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减，
当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增，$g(0)=1, g(1)=-2$ ，
因为曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，
所以等价于 $y=a$ 与 $g(x)$ 有两个交点，所以 $a \in(-2,1)$ ．

故答案为：$(-2,1)$