（5分）已知点 A(-1,0), B(1,0), C(0,…——2013 高考数学第 12 题答案解析

【考点】\％H：三角形的面积公式；I1：确定直线位置的几何要素；IT：点到直线的距离公式．

【专题】31：数形结合；35：转化思想；44：数形结合法；5B：直线与圆．
【分析】解法一：先求得直线 $y=a x+b(a>0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $M\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$ ，由 $-\frac{b}{a} \leq 0$ 可得点 $M$ 在射线 $O A$ 上．求出直线和 $B C$ 的交点 $N$ 的坐标，（1）若点 $M$ 和点 $A$ 重合，求得 $b=\frac{1}{3}$ ；（2）若点 $M$ 在点 $O$ 和点 $A$ 之间，求得 $\frac{1}{3}（3）若点 $M$ 在点 $A$ 的左侧，求得 $\frac{1}{3}>b>1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。再把以上得到的三个 $b$ 的范围取并集，可得结果．

解法二：考查临界位置时对应的 b 值，综合可得结论．
【解答】解：解法一：由题意可得，三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot O C=1$ ，由于直线 $y=a x+b(a>0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $M\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$ ，

由直线 $y=a x+b ~(a>0) ~$ 将 $\triangle A B C$ 分割为面积相等的两部分，可得 $b>0$ ，
故 $-\frac{b}{a} \leq 0$ ，故点 $M$ 在射线 $O A$ 上．
设直线 $y=a x+b$ 和 $B C$ 的交点为 $N$ ，则由 $\left\{\begin{array}{l}y=a x+b \\ x+y=1\end{array}\right.$ 可得点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{1-b}{a+1}, \frac{a+b}{a+1}\right)$
（1）若点 M 和点 A 重合，则点 N 为线段 BC 的中点，故 $\mathrm{N}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，把 $A , N$ 两点的坐标代入直线 $y=a x+b$ ，求得 $a=b=\frac{1}{3}$ ．
（2）若点 M 在点 O 和点 A 之间，此时 $\mathrm{b}>\frac{1}{3}$ ，点 N 在点 B 和点 C 之间，由题意可得三角形 NMB 的面积等于 $\frac{1}{2}$ ，
即 $\frac{1}{2} \cdot M B \cdot y_{N}=\frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{2} \times\left(1+\frac{b}{a}\right) \cdot \frac{a+b}{a+1}=\frac{1}{2}$ ，可得 $a=\frac{b^{2}}{1-2 b}>0$ ，求得 $b<\frac{1}{2}$ ，故有 $\frac{1}{3}<\mathrm{b}<\frac{1}{2}$ ．
（3）若点 M 在点 A 的左侧，则 $\mathrm{b}<\frac{1}{3}$ ，由点 M 的横坐标 $-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}<-1$ ，求得 $\mathrm{b}>\mathrm{a}$ ．
设直线 $y=a x+b$ 和 $A C$ 的交点为 $P$ ，则由

$$ \left\{\begin{array}{l} y=a x+b \\ y=x+1 \end{array} \text { 求得点 } P \text { 的坐标为 }\left(\frac{1-b}{a-1}, \frac{a-b}{a-1}\right)\right. \text {, } $$

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于 $\frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{2} \bullet(1-b) \bullet\left|x_{N}-x_{P}\right|=\frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{2}(1-b) \cdot\left|\frac{1-b}{a+1}-\frac{1-b}{a-1}\right|=\frac{1}{2}$ ，化简可得2 $(1-b)^{2}=\left|a^{2}-1\right|$ 。
由于此时 $\mathrm{b}>\mathrm{a}>0, \quad 0<\mathrm{a}<1, \quad \therefore 2(1-\mathrm{b})^{2}=\left|\mathrm{a}^{2}-1\right|=1-\mathrm{a}^{2}$ ．
两边开方可得 $\sqrt{2}(1-\mathrm{b})=\sqrt{1-\mathrm{a}^{2}}<1, \quad \therefore 1-\mathrm{b}<\frac{1}{\sqrt{2}}$ ，化简可得 $\mathrm{b}>1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，故有 $1-\frac{\sqrt{2}}{2}<\mathrm{b}<\frac{1}{3}$ ．
再把以上得到的三个 b 的范围取并集，可得 b 的取值范围应是 $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，故选：B．

（1）

（2）

（3）

解法二：当 $a=0$ 时，直线 $y=a x+b(a>0)$ 平行于 $A B$ 边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得 $\left(\frac{1-\mathrm{b}}{1}\right)^{2}=\frac{1}{2}, \mathrm{~b}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，趋于最小。
由于 $a>0, \therefore b>1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
当 $a$ 逐渐变大时，$b$ 也逐渐变大，
当 $\mathrm{b}=\frac{1}{2}$ 时，直线经过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，再根据直线平分 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积，故 a 不存在，故 $\mathrm{b}<\frac{1}{2}$ ．
综上可得， $1-\frac{\sqrt{2}}{2}<\mathrm{b}<\frac{1}{2}$ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题。