（12分）设函数 f(x)=ln x-x+1 ． （1）讨…——2016 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用。

【分析】（1）求出导数，由导数大于 0 ，可得增区间；导数小于 0 ，可得减区间 ，注意函数的定义域；
②由题意可得即证 $\operatorname{In} x1$ ，求出单调性，即可得到 $\mathrm{x}-1<\mathrm{x} \ln \mathrm{x}$ 成立；
③设 $G(x)=1+(c-1) x-c^{x}$ ，求 $G(x)$ 的二次导数，判断 $G^{\prime}(x)$ 的单调性 ，进而证明原不等式。

【解答】解：（1）函数 $f(x)=\ln x-x+1$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-1$ ，
由 $f^{\prime}(x)>0$ ，可得 $01$ ．
即有 $f(x)$ 的增区间为 $(0,1)$ ；减区间为 $(1,+\infty)$ ；
（2）证明：当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $1<\frac{x-1}{\ln x}由（1）可得 $f(x)=\ln x-x+1$ 在（1，＋）递减，
可得 $f(x)

设 $F(x)=x \ln x-x+1, x>1, F^{\prime}(x)=1+\ln x-1=\ln x$ ，
当 $x>1$ 时，$F^{\prime}(x)>0$ ，可得 $F(x)$ 递增，即有 $F(x)>F(1)=0$ ，即有 $x \ln x>x-1$ ，则原不等式成立；
（3）证明：设 $G(x)=1+(c-1) x-c^{x}$ ，
则需要证明：当 $x \in(0,1)$ 时，$G(x)>0(c>1)$ ；
$G^{\prime}(x)=c-1-c^{x} \operatorname{lnc}, G^{\prime \prime}(x)=-(\operatorname{lnc})^{2} c^{x}<0$ ，
$\therefore \mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $(0,1)$ 单调递减，而 $\mathrm{G}^{\prime}(0)=\mathrm{c}-1-\mathrm{lnc}, \mathrm{G}^{\prime}(1)=\mathrm{c}-1-\mathrm{clnc}$ ，
由（1）中 $f(x)$ 的单调性，可得 $G^{\prime}(0)=c-1-\operatorname{lnc}>0$ ，由②可得 $G^{\prime}(1)=c -1-\mathrm{clnc}=\mathrm{c}(1-\mathrm{lnc})-1<0$,
$\therefore \exists t \in(0,1)$ ，使得 $G^{\prime}(t)=0$ ，即 $x \in(0, t)$ 时，$G^{\prime}(x)>0, x \in(t, 1)$ 时 ， $\mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ；

即 $G(x)$ 在 $(0, t)$ 递增，在 $(t, 1)$ 递减；
又因为：$G(0)=G(1)=0$ ，
$\therefore x \in(0,1)$ 时 $G(x)>0$ 成立，不等式得证；
即 $c>1$ ，当 $x \in(0,1)$ 时， $1+(c-1) x>c^{x}$ ．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明 ，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题。