如图，在三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2023 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明见解析。
（2） 1

## 【解析】

【分析】①由 $A_{1} C \perp$ 平面 $A B C$ 得 $A_{1} C \perp B C$ ，又因为 $A C \perp B C$ ，可证 $B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，从而证得平面 $A C C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（2）过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} O \perp C C_{1}$ ，可证四棱锥的高为 $A_{1} O$ ，由三角形全等可证 $A_{1} C=A C$ ，从而证得 $O$ 为 $C C_{1}$ 中点，设 $A_{1} C=A C=x$ ，由勾股定理可求出 $x$ ，再由勾股定理即可求 $A_{1} O$ ．

## 【小问 1 详解】

证明：因为 $A_{1} C \perp$ 平面 $A B C, B C \subset$ 平面 $A B C$ ，

所以 $A_{1} C \perp B C$ ，

又因为 $\angle A C B=90^{\circ}$ ，即 $A C \perp B C$ ，
$A_{1} C, A C \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}, A_{1} C \cap A C=C$ ，

所以 $B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，

又因为 $B C \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，

所以平面 $A C C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

## 【小问 2 详解】

如图，

过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} O \perp C C_{1}$ ，垂足为 $O$ ．
因为平面 $A C C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，平面 $A C C_{1} A_{1} \cap$ 平面 $B C C_{1} B_{1}=C C_{1}, A_{1} O \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，所以 $A_{1} O \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，

所以四棱锥 $A_{1}-B B_{1} C_{1} C$ 的高为 $A_{1} O$ ．

因为 $A_{1} C \perp$ 平面 $A B C, A C, B C \subset$ 平面 $A B C$ ，

所以 $A_{1} C \perp B C, A_{1} C \perp A C$ ，

又因为 $A_{1} B=A B, B C$ 为公共边，

所以 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A_{1} B C$ 全等，所以 $A_{1} C=A C$ ．

设 $A_{1} C=A C=x$ ，则 $A_{1} C_{1}=x$ ，
所以 $O$ 为 $C C_{1}$ 中点，$O C_{1}=\frac{1}{2} A A_{1}=1$ ，
又因为 $A_{1} C \perp A C$ ，所以 $A_{1} C^{2}+A C^{2}=A A_{1}^{2}$ ，
即 $x^{2}+x^{2}=2^{2}$ ，解得 $x=\sqrt{2}$ ，
所以 $A_{1} O=\sqrt{A_{1} C_{1}^{2}-O C_{1}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=1$ ，
所以四棱锥 $A_{1}-B B_{1} C_{1} C$ 的高为 1 ．