已知圆锥 P O 的底面半径为 3 , O 为底面圆心，…——2023 高考数学第 8 题答案解析

## 【答案】B

## 【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答．

【详解】在 $\triangle A O B$ 中，$\angle A O B=120^{\circ}$ ，而 $O A=O B=\sqrt{3}$ ，取 $A C$ 中点 $C$ ，连接 $O C, P C$ ，有 $O C \perp A B, P C \perp A B, ~$ 如图，

$\angle A B O=30^{\circ}, O C=\frac{\sqrt{3}}{2}, A B=2 B C=3$ ，由 $\triangle P A B$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，得 $\frac{1}{2} \times 3 \times P C=\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，
解得 $P C=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，于是 $P O=\sqrt{P C^{2}-O C^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}$ ，
所以圆锥的体积 $V=\frac{1}{3} \pi \times O A^{2} \times P O=\frac{1}{3} \pi \times(\sqrt{3})^{2} \times \sqrt{6}=\sqrt{6} \pi$ ．
故选：B