如图， P 是圆锥的顶点， 0 是底面圆心， AB 是底面…——2025 高考数学第 18 题答案解析

（1）连接 $PO$。因为 $P$ 是圆锥顶点，$O$ 是底面圆心，所以 $PO \perp$ 底面圆 $O$。
由题意知，直线 $PA$ 与底面所成的角为 $\angle PAO = \frac{\pi}{3}$。
在 Rt$\triangle POA$ 中，底面直径 $AB=2$，则半径 $AO=1$。
所以母线长 $PA = \frac{AO}{\cos \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{1/2} = 2$。
圆锥的侧面积 $S_{\text{侧}} = \pi \cdot AO \cdot PA = \pi \times 1 \times 2 = 2\pi$。

（2）以 $O$ 为原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。
取过 $O$ 且垂直于 $AB$ 的直线为 $x$ 轴，$AB$ 所在直线为 $y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴。
设圆锥高 $PO=h (h>0)$，则 $P(0,0,h)$，$A(0,-1,0)$，$B(0,1,0)$。
因为 $Q$ 是 $PA$ 的中点，所以 $Q\left(0, -\frac{1}{2}, \frac{h}{2}\right)$。
由弧 $\widehat{AC}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$，半径 $r=1$，得圆心角 $\angle AOC = \frac{\pi/3}{1} = \frac{\pi}{3}$。
因为 $CD \parallel AB$，且 $C, D$ 在圆周上，根据对称性，$C, D$ 关于 $x$ 轴对称或 $y$ 轴对称？
注意：$A$ 在 $y$ 轴负半轴。$\angle AOC = \frac{\pi}{3}$，若 $C$ 在第二象限（$x<0, y>0$）或第三象限（$x<0, y<0$）？
通常设定 $A(0,-1,0)$，逆时针旋转。
向量 $\overrightarrow{OA}=(0,-1,0)$。$\overrightarrow{OC}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 夹角 $\frac{\pi}{3}$。
考虑到 $CD \parallel AB$（即 $CD \parallel y$ 轴），$C, D$ 的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
设 $C(x_C, y_C, 0)$，$D(x_C, -y_C, 0)$。
由 $\angle AOC = \frac{\pi}{3}$，且 $A$ 在 $y$ 轴负向，若 $C$ 在左半平面（结合图示习惯及 $CD \parallel AB$ 构成梯形或矩形截面），
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \cos \frac{\pi}{3} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
即 $-y_C = \frac{1}{2} \Rightarrow y_C = -\frac{1}{2}$。
代入 $x_C^2 + y_C^2 = 1$，得 $x_C^2 = \frac{3}{4}$。由图示位置，$C$ 在 $x$ 轴正向或负向均可，不妨设 $x_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$（若设 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 结论同理）。
则 $C\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$，$D\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$。
点 $M$ 在线段 $OC$ 上，设 $\overrightarrow{OM} = \lambda \overrightarrow{OC} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda, -\frac{1}{2}\lambda, 0\right)$，其中 $0 \le \lambda \le 1$。
则 $\overrightarrow{QM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OQ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda, -\frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{2}, -\frac{h}{2}\right)$。

下面求平面 $PBD$ 的法向量 $\vec{n}$。
$\overrightarrow{BP} = (0, -1, h)$，$\overrightarrow{BD} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$。
设 $\vec{n} = (x, y, z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{BP} = -y + hz = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y = 0 \end{cases}$
令 $z=1$，则 $y=h$，代入第二式得 $\frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{h}{2} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}h}{3}$。
故平面 $PBD$ 的一个法向量为 $\vec{n} = \left(\frac{\sqrt{3}h}{3}, h, 1\right)$。

计算 $\overrightarrow{QM} \cdot \vec{n}$：
$\overrightarrow{QM} \cdot \vec{n} = \frac{\sqrt{3}h}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\lambda + h \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda\right) + 1 \cdot \left(-\frac{h}{2}\right)$
$= \frac{3h}{6}\lambda + \frac{h}{2} - \frac{h}{2}\lambda - \frac{h}{2}$
$= \frac{h}{2}\lambda - \frac{h}{2}\lambda + \frac{h}{2} - \frac{h}{2} = 0$。

因为 $\overrightarrow{QM} \cdot \vec{n} = 0$，所以 $\overrightarrow{QM} \perp \vec{n}$。
又因为 $Q$ 不在平面 $PBD$ 内（$Q$ 在 $PA$ 上，$PA \cap$ 平面 $PBD = P$，且 $Q \neq P$），$M$ 在底面上，若 $M$ 在平面 $PBD$ 内，则 $M$ 必在 $BD$ 上，但 $M$ 在 $OC$ 上，$OC$ 与 $BD$ 不重合，故直线 $QM$ 不在平面 $PBD$ 内。
所以，直线 $QM \parallel$ 平面 $PBD$。