（13分）设函数 f ( x ) = [ a x ^ 2…——2018 高考数学第 19 题答案解析

由题意，函数 $f(x) = [ax^2 - (3a+1)x + 3a + 2]e^x$。

（Ⅰ）求导数：
$$ \begin{aligned} f'(x) &= [2ax - (3a+1)]e^x + [ax^2 - (3a+1)x + 3a + 2]e^x \\ &= [ax^2 + (2a - 3a - 1)x - 3a - 1 + 3a + 2]e^x \\ &= [ax^2 - (a+1)x + 1]e^x \end{aligned} $$
因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线斜率为 0，所以 $f'(2)=0$。
代入 $x=2$：
$$ [4a - 2(a+1) + 1]e^2 = 0 $$
由于 $e^2 \neq 0$，故：
$$ 4a - 2a - 2 + 1 = 0 \implies 2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2} $$

（Ⅱ）令 $f'(x) = 0$，即 $[ax^2 - (a+1)x + 1]e^x = 0$。
因为 $e^x > 0$，所以只需考虑 $ax^2 - (a+1)x + 1 = 0$。
因式分解得：
$$ (ax-1)(x-1) = 0 $$
方程的根为 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = \frac{1}{a}$（当 $a \neq 0$ 时）。
要使 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，需满足在 $x=1$ 左侧附近 $f'(x)<0$，右侧附近 $f'(x)>0$。下面对 $a$ 进行分类讨论：

1. 当 $a=0$ 时：
$f'(x) = (-x+1)e^x = -(x-1)e^x$。
当 $x<1$ 时，$f'(x)>0$，函数单调递增；
当 $x>1$ 时，$f'(x)<0$，函数单调递减。
此时 $x=1$ 为极大值点，不合题意。

2. 当 $a \neq 0$ 时，两根为 $1$ 和 $\frac{1}{a}$。

* 若 $a > 0$：
二次项系数 $a>0$，抛物线开口向上。
* 若 $a=1$，则 $\frac{1}{a}=1$，此时 $f'(x) = (x-1)^2 e^x \ge 0$，函数单调递增，无极值，不合题意。
* 若 $a > 1$，则 $0 < \frac{1}{a} < 1$。
在 $(\frac{1}{a}, 1)$ 上，$ax^2-(a+1)x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$；
在 $(1, +\infty)$ 上，$ax^2-(a+1)x+1 > 0 \implies f'(x) > 0$。
函数先减后增，故 $x=1$ 为极小值点，符合题意。
* 若 $0 < a < 1$，则 $\frac{1}{a} > 1$。
在 $(1, \frac{1}{a})$ 上，$ax^2-(a+1)x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$；
在 $(-\infty, 1)$ 上，$ax^2-(a+1)x+1 > 0 \implies f'(x) > 0$。
函数先增后减，故 $x=1$ 为极大值点，不合题意。

* 若 $a < 0$：
二次项系数 $a<0$，抛物线开口向下。且 $\frac{1}{a} < 0 < 1$。
在 $(\frac{1}{a}, 1)$ 上，$ax^2-(a+1)x+1 > 0 \implies f'(x) > 0$；
在 $(1, +\infty)$ 上，$ax^2-(a+1)x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$。
函数先增后减，故 $x=1$ 为极大值点，不合题意。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(1, +\infty)$。