（15 分）如图，已知抛物线 x ^ 2 = y，点 A…——2017 高考数学第 21 题答案解析

（Ⅰ）设点 $P$ 的坐标为 $(x, x^2)$，其中 $-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$。
由斜率公式可得直线 $AP$ 的斜率 $k_{AP}$ 为：
$$ k_{AP} = \frac{x^2 - \frac{1}{4}}{x - (-\frac{1}{2})} = \frac{(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})}{x + \frac{1}{2}} $$
因为 $x > -\frac{1}{2}$，所以 $x + \frac{1}{2} \neq 0$，消去公因式得：
$$ k_{AP} = x - \frac{1}{2} $$
由 $-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$，可得：
$$ -1 < x - \frac{1}{2} < 1 $$
故直线 $AP$ 斜率的取值范围是 $(-1, 1)$。

（Ⅱ）设直线 $AP$ 的斜率为 $k$，则 $k \in (-1, 1)$。
由（Ⅰ）知 $x = k + \frac{1}{2}$，且 $P(k+\frac{1}{2}, (k+\frac{1}{2})^2)$。
直线 $AP$ 的方程为 $y - \frac{1}{4} = k(x + \frac{1}{2})$，即 $y = kx + \frac{1}{2}k + \frac{1}{4}$。
因为 $BQ \perp AP$，所以直线 $BQ$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$（当 $k \neq 0$ 时）。
直线 $BQ$ 过点 $B(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$，其方程为：
$$ y - \frac{9}{4} = -\frac{1}{k}(x - \frac{3}{2}) \implies y = -\frac{1}{k}x + \frac{3}{2k} + \frac{9}{4} $$
联立直线 $AP$ 与 $BQ$ 的方程求交点 $Q$ 的横坐标 $x_Q$：
$$ kx_Q + \frac{1}{2}k + \frac{1}{4} = -\frac{1}{k}x_Q + \frac{3}{2k} + \frac{9}{4} $$
整理得：
$$ (k + \frac{1}{k})x_Q = \frac{3}{2k} - \frac{1}{2}k + 2 $$
$$ \frac{k^2+1}{k}x_Q = \frac{3 - k^2 + 4k}{2k} \implies x_Q = \frac{-k^2 + 4k + 3}{2(k^2+1)} $$
点 $P$ 的横坐标 $x_P = k + \frac{1}{2} = \frac{2k+1}{2}$。
计算向量 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$ 在 $x$ 轴方向的分量：
$$ x_A - x_P = -\frac{1}{2} - (k + \frac{1}{2}) = -(k+1) $$
$$ x_Q - x_P = \frac{-k^2 + 4k + 3}{2(k^2+1)} - \frac{2k+1}{2} = \frac{-k^2 + 4k + 3 - (2k+1)(k^2+1)}{2(k^2+1)} $$
分子展开为 $-k^2 + 4k + 3 - (2k^3 + 2k + k^2 + 1) = -2k^3 - 2k^2 + 2k + 2 = -2(k+1)^2(k-1) = 2(1-k)(1+k)^2$。
所以 $x_Q - x_P = \frac{(1-k)(1+k)^2}{k^2+1}$。

由于 $A, P, Q$ 三点共线（$Q$ 在直线 $AP$ 上），且 $BQ \perp AP$，$\triangle PBQ$ 为直角三角形（$\angle PQB = 90^\circ$ 不成立，应是 $Q$ 为垂足，$\angle AQB$ 或 $\angle PQB$ 关系需理清，此处利用投影更简便）。
实际上，$|PA| \cdot |PQ|$ 等于向量数量积 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PQ}$（注意方向，若 $P$ 在 $A, Q$ 之间则为正，否则为负，题目求长度乘积，取绝对值或直接计算模长乘积）。
更严谨地，利用几何意义：$|PQ|$ 是向量 $\overrightarrow{PB}$ 在直线 $AP$ 方向上的投影长度（带符号）。
或者直接使用坐标计算距离乘积。
由向量共线，$\overrightarrow{PA} = (x_A-x_P, y_A-y_P)$，$\overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P, y_Q-y_P)$。
$$ |\overrightarrow{PA}| = \sqrt{1+k^2} |x_A - x_P| = \sqrt{1+k^2} |-(k+1)| = \sqrt{1+k^2} (k+1) \quad (\because k>-1) $$
$$ |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1+k^2} |x_Q - x_P| = \sqrt{1+k^2} \left| \frac{(1-k)(1+k)^2}{k^2+1} \right| $$
因为 $k \in (-1, 1)$，所以 $1-k > 0, 1+k > 0$。
$$ |PQ| = \sqrt{1+k^2} \frac{(1-k)(1+k)^2}{1+k^2} $$
因此：
$$ |PA| \cdot |PQ| = \left[ \sqrt{1+k^2} (1+k) \right] \cdot \left[ \frac{\sqrt{1+k^2} (1-k)(1+k)^2}{1+k^2} \right] $$
$$ = (1+k^2) (1+k) \frac{(1-k)(1+k)^2}{1+k^2} = (1+k)^3 (1-k) $$
令 $f(k) = (1+k)^3 (1-k)$，其中 $k \in (-1, 1)$。
求导得：
$$ f'(k) = 3(1+k)^2 (1-k) + (1+k)^3 (-1) = (1+k)^2 [3(1-k) - (1+k)] = (1+k)^2 (2 - 4k) $$
令 $f'(k) = 0$，解得 $k = \frac{1}{2}$。
当 $k \in (-1, \frac{1}{2})$ 时，$f'(k) > 0$，函数单调递增；
当 $k \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时，$f'(k) < 0$，函数单调递减。
所以当 $k = \frac{1}{2}$ 时，$f(k)$ 取得最大值：
$$ f(\frac{1}{2}) = (1 + \frac{1}{2})^3 (1 - \frac{1}{2}) = (\frac{3}{2})^3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{16} $$
故 $|PA| \cdot |PQ|$ 的最大值为 $\frac{27}{16}$。