(1) 设序列第 1 项为 $(x_1, y_1) = (3,3)$，第 2 项为 $(x_2, y_2)$。
根据 K 列定义，需满足 $\begin{cases} |x_2-3|=3 \\ |y_2-3|=4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} |x_2-3|=4 \\ |y_2-3|=3 \end{cases}$，且 $x_2, y_2 \in A=\{1,2,\dots,8\}$。
情形一：$|x_2-3|=3 \Rightarrow x_2=0$ 或 $6$。因 $0 \notin A$，故 $x_2=6$。
此时 $|y_2-3|=4 \Rightarrow y_2=-1$ 或 $7$。因 $-1 \notin A$，故 $y_2=7$。得点 $(6,7)$。
情形二：$|x_2-3|=4 \Rightarrow x_2=-1$ 或 $7$。因 $-1 \notin A$，故 $x_2=7$。
此时 $|y_2-3|=3 \Rightarrow y_2=0$ 或 $6$。因 $0 \notin A$，故 $y_2=6$。得点 $(7,6)$。
综上，第 2 项为 $(6,7)$ 或 $(7,6)$。
(2) 不能同时为 $\Gamma$ 中的项。理由如下：
假设 $(3,2)$ 与 $(4,4)$ 同时出现在 $\Gamma$ 中。
考察 K 列相邻两项 $(x_i, y_i)$ 与 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 的坐标和奇偶性：
由定义知 $|x_{i+1}-x_i|$ 与 $|y_{i+1}-y_i|$ 分别为 3 和 4（顺序可换）。
因为 3 是奇数，4 是偶数，所以 $x_{i+1}$ 与 $x_i$ 奇偶性不同，$y_{i+1}$ 与 $y_i$ 奇偶性相同；或者 $x$ 同 $y$ 异。
无论哪种情况，$(x_{i+1}+y_{i+1}) - (x_i+y_i) = (x_{i+1}-x_i) + (y_{i+1}-y_i)$ 均为“奇 + 偶”或“偶 + 奇”，结果必为奇数。
这说明相邻两项的坐标和 $x+y$ 的奇偶性必然相反。
若从 $(3,2)$ 走到 $(4,4)$ 经过了 $k$ 步（即中间间隔 $k-1$ 项），则坐标和的奇偶性改变了 $k$ 次。
计算两点的坐标和：$(3,2)$ 的和为 $5$（奇数），$(4,4)$ 的和为 $8$（偶数）。
奇偶性不同，说明步数 $k$ 必须为奇数。
另一方面，题目条件规定：当 $i$ 为奇数时 $x_i \in \{1,2,7,8\}$，当 $i$ 为偶数时 $x_i \in \{3,4,5,6\}$。
点 $(3,2)$ 的横坐标 $3 \in \{3,4,5,6\}$，故其项数序号必为偶数。
点 $(4,4)$ 的横坐标 $4 \in \{3,4,5,6\}$，故其项数序号也必为偶数。
两个偶数序号之间的差值（即步数 $k$）必为偶数。
由此得出矛盾：步数 $k$ 既要是奇数又要为偶数。
故假设不成立，$(3,2)$ 与 $(4,4)$ 不能同时为 $\Gamma$ 中的项。
(3) 证明：
假设 $M$ 的全部 $64$ 个元素能组成一个 K 列，记为序列 $S$。
定义集合 $T_1 = \{(x,y) \in M \mid x \in \{1,2,7,8\}\}$，$T_2 = \{(x,y) \in M \mid x \in \{3,4,5,6\}\}$。
显然 $|T_1| = 4 \times 8 = 32$，$|T_2| = 4 \times 8 = 32$，且 $T_1 \cup T_2 = M$。
对于任意相邻项，若前一项 $x_i \in \{1,2,7,8\}$，则 $|x_{i+1}-x_i| \in \{3,4\}$。
若 $x_i \in \{1,2\}$，则 $x_{i+1} \in \{4,5,6\}$（加 3 或 4）；若 $x_i \in \{7,8\}$，则 $x_{i+1} \in \{3,4,5\}$（减 3 或 4）。
无论何种情况，$x_{i+1}$ 均落入 $\{3,4,5,6\}$，即 $T_1$ 的后继必在 $T_2$ 中。
同理，若 $x_i \in \{3,4,5,6\}$，则 $x_{i+1}$ 必落入 $\{1,2,7,8\}$，即 $T_2$ 的后继必在 $T_1$ 中。
这意味着在序列 $S$ 中，属于 $T_1$ 和 $T_2$ 的元素必须交替出现。
由于 $|T_1|=|T_2|=32$，且总数为 64，序列必须是 $T_1, T_2, T_1, T_2, \dots$ 或 $T_2, T_1, T_2, T_1, \dots$ 的形式。
不妨设 $S$ 的第奇数项属于 $T_1$，第偶数项属于 $T_2$（另一种情况对称）。
再定义集合 $U_1 = \{(x,y) \in M \mid y \in \{1,2,7,8\}\}$，$U_2 = \{(x,y) \in M \mid y \in \{3,4,5,6\}\}$。
同理分析纵坐标变化：$|y_{i+1}-y_i| \in \{3,4\}$。
若 $y_i \in \{1,2,7,8\}$，则 $y_{i+1} \in \{3,4,5,6\}$；若 $y_i \in \{3,4,5,6\}$，则 $y_{i+1} \in \{1,2,7,8\}$。
这说明属于 $U_1$ 和 $U_2$ 的元素也必须交替出现。
结合前面的结论（奇数项在 $T_1$，偶数项在 $T_2$），我们考察奇数项子序列。
所有奇数项构成集合 $T_1$。同时，由于 $U_1, U_2$ 交替，奇数项要么全在 $U_1$，要么全在 $U_2$。
然而 $T_1$ 中包含 $y \in \{1,\dots,8\}$ 的所有点，既有 $y \in \{1,2,7,8\}$ 的点，也有 $y \in \{3,4,5,6\}$ 的点。
具体地，$T_1 \cap U_1$ 有 $4 \times 4 = 16$ 个点，$T_1 \cap U_2$ 也有 $16$ 个点。
如果奇数项全在 $U_1$，则 $T_1 \subseteq U_1$，矛盾；如果奇数项全在 $U_2$，则 $T_1 \subseteq U_2$，矛盾。
因此，无法构造出满足条件的交替序列覆盖所有元素。
故由 $M$ 的全部元素组成的序列都不是 K 列。