（14 分）如图，在三棱柱 A B C - A _ 1 B…——2014 高考数学第 17 题答案解析

（1）在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱垂直于底面，故 $BB_1 \perp$ 平面 $ABC$。
因为 $AB \subset$ 平面 $ABC$，所以 $BB_1 \perp AB$。
又已知 $AB \perp BC$，且 $BB_1 \cap BC = B$，$BB_1, BC \subset$ 平面 $B_1BCC_1$，
所以 $AB \perp$ 平面 $B_1BCC_1$。
因为 $AB \subset$ 平面 $ABE$，
所以平面 $ABE \perp$ 平面 $B_1BCC_1$。

（2）取 $AB$ 的中点 $G$，连接 $EG, FG$。
因为 $F$ 是 $BC$ 的中点，所以 $FG$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，
故 $FG // AC$ 且 $FG = \frac{1}{2}AC$。
在三棱柱中，$A_1C_1 // AC$ 且 $A_1C_1 = AC$。
因为 $E$ 是 $A_1C_1$ 的中点，所以 $EC_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$，且 $EC_1$ 在直线 $A_1C_1$ 上。
所以 $EC_1 // AC$ 且 $EC_1 = \frac{1}{2}AC$。
由此可得 $FG // EC_1$ 且 $FG = EC_1$。
所以四边形 $FGEC_1$ 为平行四边形，故 $C_1F // EG$。
因为 $EG \subset$ 平面 $ABE$，$C_1F \not\subset$ 平面 $ABE$，
所以 $C_1F //$ 平面 $ABE$。

（3）在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AC=2, BC=1$，由勾股定理得 $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$。
所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为侧棱垂直于底面，且上下底面平行，所以点 $E$ 到平面 $ABC$ 的距离等于侧棱长 $AA_1 = 2$。
故三棱锥 $E-ABC$ 的体积：
$V_{E-ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$。