15. 某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小齿轮、链条、阻力装置K及绝缘圆盘等组成。K由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈 $M _ { 1 } , \ M _ { 2 }$ 组成。小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连接。K的结构参数见图乙，其中 $r _ { 1 } = r , r _ { 2 } = 4 r$ ，每个线圈的圆心角为 $\pi - \beta$ ，圆心在转轴轴线上，电阻为R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以w的角速度保持匀速转动，以线圈 $M _ { 1 }$ 的ab边某次进入磁场时为计时起点，求K转动一周。
（1）不同时间线圈 $M _ { \mathfrak { r } }$ 受到的安培力大小；
（2）流过线圈 $M _ { 1 }$ 的电流有效值；
（3）装置K消耗的平均电功率。
甲
乙
Answer key
（1）见解析；（2） $I = \sqrt { \frac { \pi - \beta } { \pi } } \cdot \frac { 1 5 n B r ^ { 2 } \omega } { 2 R }$ ；（3） $\frac { 1 5 n B r ^ { 2 } \omega \big ( \pi - \beta \big ) } { \pi }$