如图所示，一直角棱镜ABC， A = 9 0 ^ A C…——2021 高考物理第 18 题答案解析

（1）根据折射率定义式 $n = \frac{c}{v}$，其中 $c$ 为真空中光速，$v$ 为介质中光速。
已知甲、乙两种光在棱镜中的传播速度分别为 $v_1 = k_1 c$ 和 $v_2 = k_2 c$。
则该棱镜对甲光的折射率：
$$n_1 = \frac{c}{v_1} = \frac{c}{k_1 c} = \frac{1}{k_1}$$
该棱镜对乙光的折射率：
$$n_2 = \frac{c}{v_2} = \frac{c}{k_2 c} = \frac{1}{k_2}$$

（2）光线从 AB 边垂直入射，方向不变，直接射向 BC 边。
设光线在 BC 边的入射角为 $\theta$。由几何关系可知，在直角三角形 ABC 中，$\angle A = 90^\circ$，光线平行于 AC 边入射，故入射角 $\theta$ 与 $\angle C$ 互余，即 $\theta = 90^\circ - C$。
或者更直观地看，法线垂直于 BC，入射光线水平，则入射角 $\theta$ 等于 $\angle B$（若以竖直边为参考）或 $\angle C$ 的余角。
让我们仔细推导几何关系：
作 BC 边的法线。因为 $\angle A = 90^\circ$，所以 $\angle B + \angle C = 90^\circ$。
光线垂直 AB 入射，即光线平行于 AC。
光线与 BC 的夹角为 $\angle C$（同位角或内错角关系，取决于具体画法，这里光线水平向右，BC 斜向下，光线与界面 BC 的夹角即为 $\angle C$ 是不对的，应该是光线与法线的夹角）。
正确几何分析：
光线垂直 AB 面，说明光线方向与 AB 垂直，即平行于 AC。
设 BC 面上的入射点为 D。过 D 作 BC 的法线 DN。
因为 $AC \perp AB$，且光线 $\parallel AC$，所以光线 $\perp AB$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C$ 是底角。
光线与 BC 面的夹角为 $90^\circ - \theta$。
考虑 $\triangle ABC$ 的几何结构，光线平行于 AC，则光线与 BC 的夹角等于 $\angle C$ 是错误的。
让我们画图分析：AB 竖直，AC 水平。光线水平向右。
BC 是斜边。法线垂直于 BC。
设 $\angle C = \alpha$。则 BC 与水平方向（AC）夹角为 $\alpha$。
法线与竖直方向夹角为 $\alpha$，与水平方向夹角为 $90^\circ - \alpha$。
入射光线是水平的。
所以入射角 $\theta$（光线与法线夹角）等于 $90^\circ - \alpha = 90^\circ - C$？
不对。法线垂直于 BC。BC 与水平线 AC 夹角为 $C$。
法线与竖直线夹角为 $C$。
入射光线是水平的。
法线与水平线的夹角是 $90^\circ - C$。
所以入射角 $\theta = 90^\circ - C$。
等等，通常这类题目中，如果光线垂直一直角边入射，射向斜边，入射角 $\theta$ 其实等于另一个锐角 $\angle B$ 吗？
$\angle B = 90^\circ - C$。
所以 $\theta = \angle B$。
让我们再确认一下：
光线水平。法线垂直于斜面。
斜面倾角为 $C$（相对于水平面 AC）。
法线与竖直线的夹角为 $C$。
入射光线（水平）与法线的夹角 $\theta$。
竖直线与水平线垂直。
所以 $\theta + C = 90^\circ$。即 $\theta = 90^\circ - C = B$。
题目指出甲光“恰好发生全反射”，说明入射角 $\theta$ 等于临界角 $C_{crit}$（为避免混淆，记为 $i_c$）。
根据全反射临界角公式：
$$\sin i_c = \frac{1}{n_1}$$
代入 $n_1 = \frac{1}{k_1}$，得：
$$\sin \theta = k_1$$
由前述几何关系 $\theta = 90^\circ - C$，故：
$$\sin(90^\circ - C) = \cos C = k_1$$
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\cos C = \frac{AC}{BC}$。
已知 $AC = 1$，设 $BC = L$。
$$\cos C = \frac{1}{L}$$
联立上述两式：
$$\frac{1}{L} = k_1 \implies L = \frac{1}{k_1}$$
故 BC 边的长度为 $\frac{1}{k_1}$。