（18分）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向…——2017 高考物理第 13 题答案解析

（1）设 $Q$ 点到 $x$ 轴的距离为 $L$，则由题意可知 $Q$ 点到 $y$ 轴的距离为 $2L$。
粒子在电场中做类平抛运动，设粒子从 $Q$ 点运动到 $O$ 点的时间为 $t$，加速度大小为 $a$。
在水平方向上：$2L = v_0 t$
在竖直方向上：$L = \frac{1}{2} a t^2$
联立解得：$a = \frac{v_0^2}{2L}$

粒子到达 $O$ 点时，沿 $y$ 轴方向的分速度 $v_y = at = \frac{v_0^2}{2L} \cdot \frac{2L}{v_0} = v_0$。
故粒子到达 $O$ 点时的速度大小 $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{2}v_0$。
设速度方向与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$，则 $\tan \alpha = \frac{v_y}{v_0} = 1$，即 $\alpha = 45^\circ$。
所以，粒子到达 $O$ 点时速度大小为 $\sqrt{2}v_0$，方向与 $x$ 轴正方向成 $45^\circ$ 角斜向上。

（2）由牛顿第二定律得 $qE = ma$，结合 $a = \frac{v_0^2}{2L}$，可得电场强度 $E = \frac{mv_0^2}{2qL}$。

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 $qvB = m\frac{v^2}{R}$，解得 $R = \frac{mv}{qB}$。
由几何关系分析，粒子从原点 $O$ 射入第一象限磁场，速度方向与 $x$ 轴成 $45^\circ$，最终从 $x$ 轴上的 $P$ 点射出。由于 $P$ 点到 $y$ 轴距离与 $Q$ 点到 $y$ 轴距离相等，即 $OP = 2L$。
根据圆周运动的对称性及几何知识，弦长 $OP = 2R \sin 45^\circ$（或者通过作图可知圆心在过 $O$ 点垂直于速度方向的直线上，且圆经过 $O,P$ 两点，由几何关系易得 $R = \frac{OP/2}{\cos 45^\circ} = \sqrt{2}L$）。
即 $R = \sqrt{2}L$。
将 $v = \sqrt{2}v_0$ 和 $R = \sqrt{2}L$ 代入半径公式得：
$\sqrt{2}L = \frac{m(\sqrt{2}v_0)}{qB} \Rightarrow B = \frac{mv_0}{qL}$

最后求比值：
$\frac{E}{B} = \frac{\frac{mv_0^2}{2qL}}{\frac{mv_0}{qL}} = \frac{v_0}{2}$