22．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}}{2 x}+\ln x(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a, b)$ ．证明：
（i）若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $0<b-f(a)<\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\mathrm{e}}-1\right)$ ；
（ii）若 $0<a<\mathrm{e}, x_{1}<x_{2}<x_{3}$ ，则 $\frac{2}{\mathrm{e}}+\frac{\mathrm{e}-a}{6 \mathrm{e}^{2}}<\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{3}}<\frac{2}{a}-\frac{\mathrm{e}-a}{6 \mathrm{e}^{2}}$ ．
（注： $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）
Answer key
①$f(x)$ 的减区间为 $\left(0, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ ，增区间为 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$ ． ②（i）见解析；（ii）见解析． ##