如图，在四棱锥 P-A B C D 中， A D C 与…——2025 高考数学第 17 题答案解析

（1）取 $PA$ 的中点 $N$，$PB$ 的中点 $M$，连接 $FN, MN, GM$．
因为 $F$ 为 $PD$ 的中点，$N$ 为 $PA$ 的中点，所以 $FN$ 为 $\triangle PAD$ 的中位线，
故 $FN // AD$ 且 $FN = \frac{1}{2}AD$．
因为 $G$ 为 $PE$ 的中点，$M$ 为 $PB$ 的中点，所以 $GM$ 为 $\triangle PBE$ 的中位线，
故 $GM // BE$ 且 $GM = \frac{1}{2}BE$．
在底面 $ABCD$ 中，$\triangle ADC$ 与 $\triangle BAC$ 均为等腰直角三角形，且 $\angle ADC = \angle BAC = 90^{\circ}$，
所以 $\angle DAC = \angle ACB = 45^{\circ}$，故 $AD // BC$．
又 $AC = \sqrt{2}AD$，$BC = \sqrt{2}AC = 2AD$．
因为 $E$ 为 $BC$ 的中点，所以 $BE = \frac{1}{2}BC = AD$．
所以 $FN // GM$ 且 $FN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BE = GM$．
所以四边形 $FGMN$ 为平行四边形，故 $FG // MN$．
又 $MN \subset$ 平面 $PAB$，$FG \not\subset$ 平面 $PAB$，
所以 $FG //$ 平面 $PAB$．

（2）因为 $PA \perp$ 平面 $ABCD$，$\angle BAC = 90^{\circ}$ 即 $AB \perp AC$，
所以 $AB, AC, AP$ 两两垂直．
以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AP}$ 的方向分别为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系．
设 $AD = 1$，则 $AC = AB = PA = \sqrt{2}$．
则 $A(0,0,0), B(0, \sqrt{2}, 0), C(\sqrt{2}, 0, 0), P(0, 0, \sqrt{2})$．
由 $\angle DAC = 45^{\circ}$ 及 $AD=1$ 可得 $D(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$．
所以 $\overrightarrow{AB} = (0, \sqrt{2}, 0)$，$\overrightarrow{CD} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$，$\overrightarrow{CP} = (-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$．
设平面 $PCD$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，
则 $\begin{cases} \overrightarrow{CD} \cdot \vec{n} = -\frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y = 0 \\ \overrightarrow{CP} \cdot \vec{n} = -\sqrt{2}x + \sqrt{2}z = 0 \end{cases}$，
即 $\begin{cases} x + y = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$．
取 $x = 1$，则 $y = -1, z = 1$，所以 $\vec{n} = (1, -1, 1)$．
设直线 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角为 $\theta$，
则 $\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{AB}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}| |\vec{n}|} = \frac{|0 - \sqrt{2} + 0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以直线 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．