设函数 f(x)=x-x^ 3 e ^ a x+b，曲线…——2023 高考数学第 20 题答案解析

（1）由 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$，求导得：
$$ f^{\prime}(x)=1-\left(3 x^{2}+a x^{3}\right) \mathrm{e}^{a x+b} $$
因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$，所以：
$$ \begin{cases} f(1) = -1 + 1 = 0 \\ f^{\prime}(1) = -1 \end{cases} $$
代入函数及导数表达式：
$$ \begin{cases} 1 - 1^3 \cdot \mathrm{e}^{a+b} = 0 \\ 1 - (3 + a) \mathrm{e}^{a+b} = -1 \end{cases} $$
由第一个方程得 $\mathrm{e}^{a+b}=1$，即 $a+b=0$。
将 $\mathrm{e}^{a+b}=1$ 代入第二个方程得 $1-(3+a)=-1$，解得 $a=-1$。
进而 $b = -a = 1$。
故 $a=-1, b=1$。

（2）由（1）知 $a=-1, b=1$，则：
$$ g(x) = f^{\prime}(x) = 1 - (3x^2 - x^3)\mathrm{e}^{-x+1} $$
对 $g(x)$ 求导：
$$ \begin{aligned} g^{\prime}(x) &= -\left[ (6x - 3x^2)\mathrm{e}^{-x+1} + (3x^2 - x^3)(-1)\mathrm{e}^{-x+1} \right] \\ &= -\mathrm{e}^{-x+1} \left[ 6x - 3x^2 - 3x^2 + x^3 \right] \\ &= -\mathrm{e}^{-x+1} (x^3 - 6x^2 + 6x) \\ &= -x(x^2 - 6x + 6)\mathrm{e}^{-x+1} \end{aligned} $$
令 $g^{\prime}(x)=0$，由于 $\mathrm{e}^{-x+1}>0$，则 $-x(x^2 - 6x + 6)=0$。
解得 $x_0=0$，以及 $x^2 - 6x + 6=0$ 的根 $x_1 = 3-\sqrt{3}$， $x_2 = 3+\sqrt{3}$。
因为 $1 < \sqrt{3} < 2$，所以 $0 < x_1 < x_2$。
分析 $g^{\prime}(x)$ 的符号：
当 $x < 0$ 时，$-x > 0$，$(x^2 - 6x + 6) > 0$，故 $g^{\prime}(x) > 0$；
当 $0 < x < x_1$ 时，$-x < 0$，$(x^2 - 6x + 6) > 0$（因 $x_1$ 是小根，两根之间为负，之外为正，此处 $x$ 在 $0$ 和小根之间，需仔细判断二次函数开口向上，根外为正，根内为负。等等，$x^2-6x+6$ 的根是 $3\pm\sqrt{3}$。当 $x \in (0, 3-\sqrt{3})$ 时，$x$ 小于小根，所以在两根之外？不，$0$ 在两根左侧吗？$3-\sqrt{3} \approx 1.27$。$0 < 1.27$。所以对于二次函数 $h(x)=x^2-6x+6$，当 $x < 3-\sqrt{3}$ 时，$h(x)>0$。
让我们重新梳理符号：
$g^{\prime}(x)$ 的符号由 $-x(x-x_1)(x-x_2)$ 决定（忽略正常数因子）。
1. $x \in (-\infty, 0)$：$-x>0, x-x_1<0, x-x_2<0 \implies (+)(-)(-) = + > 0$。
2. $x \in (0, x_1)$：$-x<0, x-x_1<0, x-x_2<0 \implies (-)(-)(-) = - < 0$。
3. $x \in (x_1, x_2)$：$-x<0, x-x_1>0, x-x_2<0 \implies (-)(+)(-) = + > 0$。
4. $x \in (x_2, +\infty)$：$-x<0, x-x_1>0, x-x_2>0 \implies (-)(+)(+) = - < 0$。

所以，$g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, 0)$ 和 $(3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3})$；
单调递减区间为 $(0, 3-\sqrt{3})$ 和 $(3+\sqrt{3}, +\infty)$。

（3）$f(x)$ 的极值点对应 $f^{\prime}(x)=0$ 且左右两侧导数变号的点。即求 $g(x)=0$ 的变号零点个数。
由（2）知 $g(x)$ 的变化趋势：
- 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增；
- 在 $(0, x_1)$ 上单调递减；
- 在 $(x_1, x_2)$ 上单调递增；
- 在 $(x_2, +\infty)$ 上单调递减。

计算关键点的函数值：
1. **区间 $(-\infty, 0)$**：
$g(0) = 1 - 0 = 1 > 0$。
取 $x = -1$， $g(-1) = 1 - (3(-1)^2 - (-1)^3)\mathrm{e}^{-(-1)+1} = 1 - (3+1)\mathrm{e}^2 = 1 - 4\mathrm{e}^2 < 0$。
由零点存在定理，$g(x)$ 在 $(-1, 0)$ 内存在唯一零点，记为 $x_3$。
且在 $(-\infty, x_3)$ 上 $g(x)<0$，在 $(x_3, 0)$ 上 $g(x)>0$。
故 $x_3$ 是 $f(x)$ 的一个极小值点。

2. **区间 $(0, x_1)$**：
$g(0) = 1 > 0$。
$g(x)$ 在此区间单调递减。
考察端点 $x_1 = 3-\sqrt{3}$ 处的值。
注意到 $g(1) = 1 - (3-1)\mathrm{e}^0 = 1 - 2 = -1 < 0$。
因为 $0 < 1 < 3-\sqrt{3} \approx 1.27$，即 $1 \in (0, x_1)$。
所以 $g(x_1) < g(1) < 0$。
由 $g(0)>0$ 且 $g(x_1)<0$，结合单调性，$g(x)$ 在 $(0, x_1)$ 内存在唯一零点，记为 $x_4$。
且在 $(0, x_4)$ 上 $g(x)>0$，在 $(x_4, x_1)$ 上 $g(x)<0$。
故 $x_4$ 是 $f(x)$ 的一个极大值点。

3. **区间 $(x_1, x_2)$**：
$g(x)$ 在此区间单调递增。
已知 $g(x_1) < 0$。
考察 $x_2 = 3+\sqrt{3}$ 处的值，或者取区间内特殊点。
取 $x=3$， $3 \in (x_1, x_2)$ （因为 $1.27 < 3 < 4.73$）。
$g(3) = 1 - (3(3)^2 - 3^3)\mathrm{e}^{-3+1} = 1 - (27-27)\mathrm{e}^{-2} = 1 > 0$。
所以 $g(x_2) > g(3) > 0$。
由 $g(x_1)<0$ 且 $g(x_2)>0$，结合单调性，$g(x)$ 在 $(x_1, x_2)$ 内存在唯一零点，记为 $x_5$。
且在 $(x_1, x_5)$ 上 $g(x)<0$，在 $(x_5, x_2)$ 上 $g(x)>0$。
故 $x_5$ 是 $f(x)$ 的一个极小值点。

4. **区间 $(x_2, +\infty)$**：
$g(x)$ 在此区间单调递减。
$g(x_2) > 0$。
当 $x > 3$ 时，$3x^2 - x^3 = x^2(3-x) < 0$。
此时 $-(3x^2 - x^3)\mathrm{e}^{-x+1} > 0$，所以 $g(x) = 1 + [-(3x^2 - x^3)\mathrm{e}^{-x+1}] > 1 > 0$。
因此在 $(x_2, +\infty)$ 上 $g(x)$ 恒大于 0，无零点。

综上所述，$f^{\prime}(x)$ 共有 3 个变号零点 $x_3, x_4, x_5$，分别对应极小值、极大值、极小值。
所以 $f(x)$ 的极值点个数为 3。