2017_北京 Paper
10．（16分）如图所示，长l=1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta { = } 3 7 ^ { \circ }$ ．已知小球所带电荷量 $\mathrm { q { = } 1 . 0 \times 1 0 ^ { - 6 } C }$ ，匀强电场的场强 $_ { \mathrm { E } = 3 . 0 \times 1 0 ^ { 3 } \mathrm { N } / \mathrm { C } }$ 取重力加速度 $\mathrm { g } { = } 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } , ~ \sin 3 7 ^ { \circ } { = } 0 . 6 , ~ \cos 3 7 ^ { \circ } { = } 0 . 8$ ．求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
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（1）根据电场力定义式，小球所受电场力大小为：
$$F = qE$$
代入数据得：
$$F = 1.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^3 \text{N} = 3.0 \times 10^{-3} \text{N}$$
（2）小球静止时受重力 $mg$、电场力 $F$ 和绳子拉力 $T$ 作用，处于平衡状态。由受力分析可知，重力与电场力的合力方向沿绳子向下，根据几何关系有：
$$\tan \theta = \frac{F}{mg}$$
则小球质量为：
$$m = \frac{F}{g \tan \theta}$$
代入数据（$\tan 37^\circ = 0.75$）：
$$m = \frac{3.0 \times 10^{-3}}{10 \times 0.75} \text{kg} = 4.0 \times 10^{-4} \text{kg}$$
（3）撤去电场后，小球在重力作用下摆动，只有重力做功，机械能守恒。设最低点为零势能面，初始位置高度为 $h = l(1 - \cos \theta)$。根据机械能守恒定律：
$$mgl(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$$
解得速度大小：
$$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$$
代入数据（$\cos 37^\circ = 0.8$）：
$$v = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (1 - 0.8)} \text{m/s} = \sqrt{4} \text{m/s} = 2.0 \text{m/s}$$