(1) 依次按定义加 $1$。
初始为 $(1,3,2,4,6,3,1,9)$。
第一次作用 $(1,3,5,7)$，第 $1,3,5,7$ 项加 $1$，得
$(2,3,3,4,7,3,2,9)$。
第二次作用 $(2,4,6,8)$，第 $2,4,6,8$ 项加 $1$，得
$(2,4,3,5,7,4,2,10)$。
第三次作用 $(1,3,5,7)$，第 $1,3,5,7$ 项加 $1$，得
$(3,4,4,5,8,4,3,10)$。
所以 $\Omega(A): 3,4,4,5,8,4,3,10$。
(2) 设存在这样的序列，且共进行 $m$ 次变换。每次变换都在 $\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\}$ 中各选一个下标加 $1$，因此每一对的和都恰好增加 $1$。
目标数列中，第一对 $a_1,a_2$ 的总增量为 $2+6=8$，故 $m=8$；第二对 $a_3,a_4$ 的总增量为 $4+2=6$，故 $m=6$。矛盾。
因此不存在符合条件的序列 $\Omega$。
(3) 记四个配对为
$\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\}$。
必要性：若经过 $m$ 次变换后得到常数列，则最终每一对的两个数都相等，最终四个配对和相等。每次变换都使四个配对和各增加 $1$，所以初始四个配对和也相等，即
$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$。
充分性：设
$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$，
且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数。
对任一可达数列 $B=(b_1,b_2,\ldots,b_8)$，令
$D_1=b_1-b_2,\ D_2=b_3-b_4,\ D_3=b_5-b_6,\ D_4=b_7-b_8$，
并令
$\Phi=|D_1|+|D_2|+|D_3|+|D_4|$。
由于每次变换在每一对中恰有一个数加 $1$，若初始四个配对和相等，则所有可达数列的四个配对和仍相等。又因为合法变换要求下标和为偶数，等价于所选奇数下标 $1,3,5,7$ 的个数为偶数，所以奇数项和的奇偶性不变，仍为偶数。
设当前公共配对和为 $S$，奇数项和为 $O$。则
$D_1+D_2+D_3+D_4=O-(4S-O)=2O-4S$，
故
$D_1+D_2+D_3+D_4\equiv0\pmod4$。
同时 $D_r=2b_{2r-1}-S$，所以四个 $D_r$ 同奇偶。
在所有可达数列中取一个使 $\Phi$ 最小的数列，仍记为 $B$。
下面证明此时必有 $\Phi=0$。
若存在某个 $|D_r|\ge2$。由于四个配对地位对称，且把一次变换中的每个下标换成同一配对中的另一个下标仍合法，并使所有 $D_r$ 的改变量反号，所以只需讨论 $D_1\ge2$。
若 $D_2=D_3=D_4=0$，则由 $D_1+D_2+D_3+D_4\equiv0\pmod4$ 得 $D_1\ge4$。连续作四次变换
$(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)$。
它们对 $(D_1,D_2,D_3,D_4)$ 的总改变量为 $(-4,0,0,0)$，于是 $\Phi$ 减少 $4$，与最小性矛盾。
若某个 $D_q\ne0$，可设 $q=2$。若 $D_2\ge1$，连续作两次变换
$(2,4,5,7),(2,4,6,8)$，
总改变量为 $(-2,-2,0,0)$。此时 $|D_1|$ 减少 $2$，而 $|D_2|$ 不增加，故 $\Phi$ 至少减少 $2$，矛盾。
若 $D_2\le-1$，连续作两次变换
$(2,3,5,8),(2,3,6,7)$，
总改变量为 $(-2,+2,0,0)$。同样 $|D_1|$ 减少 $2$，而 $|D_2|$ 不增加，故 $\Phi$ 至少减少 $2$，矛盾。
因此对所有 $r$ 都有 $|D_r|\le1$。
若 $\Phi>0$，则至少有一个 $|D_r|=1$。由于四个 $D_r$ 同奇偶，故四个 $D_r$ 全为 $\pm1$。设其中 $+1$ 的个数为 $p$，则
$D_1+D_2+D_3+D_4=2p-4$。
由其模 $4$ 为 $0$ 知 $p$ 为偶数。
此时公共配对和 $S$ 为奇数，设 $S=2N+1$。每一对的两个数分别为 $N$ 与 $N+1$。当 $D_r=1$ 时，较小值 $N$ 在偶数位；当 $D_r=-1$ 时，较小值 $N$ 在奇数位。取四个等于 $N$ 的位置，它们分别来自四个配对。由于 $D_r=-1$ 的个数为 $4-p$，仍为偶数，所以这四个位置中奇数下标的个数为偶数，其下标和为偶数，构成 $M$ 中的一个元素。
对这四个位置作一次变换，所有 $N$ 都变为 $N+1$，数列成为常数列，从而 $\Phi=0$，与最小性矛盾。
故 $\Phi=0$。于是 $D_1=D_2=D_3=D_4=0$，每一对内部两个数相等；又四个配对和相等，所以八项全相等，即该可达数列为常数列。
因此存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 为常数列。