21. 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\} , \left\{ b _ { n } \right\}$ 的项数均为 $m \left( m > 2 \right)$ ，且 $a _ { n } , b _ { n } \in \{ 1 , 2 , \cdots , m \} , \left\{ a _ { n } \right\} , \left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和分别为$A _ { n } , B _ { n }$ ，并规定 $A _ { 0 } = B _ { 0 } = 0$ ．对于 $k \in \{ 0 , 1 , 2 , \cdots , m \}$ ，定义 $r _ { k } = \operatorname* { m a x } \left. i \mid B _ { i } \leq A _ { k } , i \in \lbrace 0 , 1 , 2 , \cdots , m \rbrace \right.$ ，其中，maxM表示数集M中最大的数.
（1）若 $a _ { 1 } = 2 , a _ { 2 } = 1 , a _ { 3 } = 3 , b _ { 1 } = 1 , b _ { 2 } = 3 , b _ { 3 } = 3$ ，求 $r _ { 0 } , r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 }$ 的值；
（2）若 $a _ { 1 } \geq b _ { 1 }$ ，且 $2 r _ { { \scriptscriptstyle j } } \le r _ { { \scriptscriptstyle j } + 1 } + r _ { { \scriptscriptstyle j } - 1 } , { \scriptscriptstyle j } = 1 , 2 , \cdots , m - 1 ,$ , ，求 $r _ { n }$ ；
（3）证明：存在 $p , q , s , t \in \{ 0 , 1 , 2 , \cdots , m \}$ ，满足 $p > q , s > t$ , <sub>使得</sub> $A _ { p } + B _ { t } = A _ { q } + B _ { s }$
① $r _ { 0 } = 0$ $r _ { 1 } = 1$ $r _ { 2 } = 1$ $r _ { 3 } = 2$ > ② $r _ { n } = n , n \in \mathbf { N }$ （3）证明见详解