（1）粒子从静止开始运动，进入第2层磁场前，先后经过了第1层电场和第2层电场的加速。在此过程中，洛伦兹力不做功，只有电场力做功。
根据动能定理，粒子经过两个宽度为 $d$ 的电场区域，总位移为 $2d$，则有：
$$ qE \cdot 2d = \frac{1}{2}mv_2^2 $$
解得粒子在第2层磁场中的速度大小为：
$$ v_2 = 2\sqrt{\frac{qEd}{m}} $$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$$ qv_2B = m\frac{v_2^2}{r_2} $$
解得轨迹半径：
$$ r_2 = \frac{mv_2}{qB} = \frac{m}{qB} \cdot 2\sqrt{\frac{qEd}{m}} = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{mEd}{q}} $$
（2）设粒子进入第 $n$ 层磁场时的速度为 $v_n$，此时速度方向与水平方向夹角为 $\alpha_n$；穿出第 $n$ 层磁场时速度方向与水平方向夹角为 $\theta_n$。
粒子到达第 $n$ 层磁场前，共经过了 $n$ 个电场区域的加速，根据动能定理：
$$ nqEd = \frac{1}{2}mv_n^2 \implies v_n = \sqrt{\frac{2nqEd}{m}} $$
在第 $n$ 层磁场中，轨道半径 $r_n$ 满足：
$$ r_n = \frac{mv_n}{qB} $$
由于粒子在电场中运动时，垂直于电场方向（即竖直方向）的速度分量保持不变，而在磁场中速率不变但方向改变。
粒子从第 $n-1$ 层磁场穿出时的竖直分速度为 $v_{n-1}\sin\theta_{n-1}$，进入第 $n$ 层磁场时的竖直分速度为 $v_n\sin\alpha_n$。
因为中间隔着一个电场，电场力沿水平方向，不改变竖直分速度，故有：
$$ v_n \sin\alpha_n = v_{n-1} \sin\theta_{n-1} $$
两边同乘 $\frac{m}{qB}$，结合 $r = \frac{mv}{qB}$，可得几何关系递推式：
$$ r_n \sin\alpha_n = r_{n-1} \sin\theta_{n-1} $$
在第 $n$ 层磁场中，粒子做圆周运动，水平方向的位移为磁场宽度 $d$。由几何关系可知，圆心角对应的弦长在水平方向的投影或者利用坐标分析，入射点与出射点的水平距离满足：
$$ r_n \sin\theta_n - r_n \sin\alpha_n = d $$
将前式代入，得：
$$ r_n \sin\theta_n - r_{n-1} \sin\theta_{n-1} = d $$
这表明数列 $\{ r_n \sin\theta_n \}$ 是一个公差为 $d$ 的等差数列。
对于第1层磁场，粒子水平进入（$\alpha_1=0$），穿出时偏转角为 $\theta_1$，水平位移为 $d$，故：
$$ r_1 \sin\theta_1 - r_1 \sin 0 = d \implies r_1 \sin\theta_1 = d $$
因此，该数列的通项公式为：
$$ r_n \sin\theta_n = r_1 \sin\theta_1 + (n-1)d = d + (n-1)d = nd $$
即：
$$ \sin\theta_n = \frac{nd}{r_n} $$
将 $r_n = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2nqEd}{m}}$ 代入上式：
$$ \sin\theta_n = \frac{nd}{\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2nqEd}{m}}} = \frac{nd qB}{m} \sqrt{\frac{m}{2nqEd}} = B \sqrt{\frac{n^2 d^2 q^2 m}{m^2 2nqEd}} = B \sqrt{\frac{nqd}{2mE}} $$
（3）若粒子恰好不能从第 $n$ 层磁场右侧边界穿出，意味着粒子在磁场中运动轨迹与右边界相切或刚好到达右边界时速度竖直向上，即穿出角度 $\theta_n = 90^\circ$，此时 $\sin\theta_n = 1$。
由第（2）问结论可知：
$$ 1 = B \sqrt{\frac{nqd}{2mE}} $$
现考虑比荷 $\frac{q'}{m'} > \frac{q}{m}$ 的粒子，其他条件不变。假设该粒子能穿出第 $n$ 层磁场右侧边界，设其穿出时角度为 $\theta'_n$，则应满足：
$$ \sin\theta'_n = B \sqrt{\frac{nq'd}{2m'E}} = \sqrt{\frac{q'/m'}{q/m}} \cdot \left( B \sqrt{\frac{nqd}{2mE}} \right) $$
因为 $\frac{q'}{m'} > \frac{q}{m}$，且原粒子恰好不能穿出（括号内值为1），所以：
$$ \sin\theta'_n > 1 $$
这在数学上是不可能的（正弦值不能大于1），说明假设不成立。
物理意义上，比荷越大，粒子在相同电场加速下获得的速度虽然更大，但在磁场中的回旋半径 $r \propto \frac{v}{q/m} \propto \sqrt{\frac{m/q}{q/m}} \propto \frac{m}{q}$ 反而越小（或者直接看 $\sin\theta_n \propto \sqrt{q/m}$，比荷大导致偏转更厉害）。实际上，由公式 $\sin\theta_n = B \sqrt{\frac{n d}{2 E} \cdot \frac{q}{m}}$ 可见，$\sin\theta_n$ 与 $\sqrt{\frac{q}{m}}$ 成正比。比荷增大，$\sin\theta_n$ 的计算值将超过1，意味着粒子在到达右边界之前，速度方向已经转过 $90^\circ$ 并开始向左回转，因此无法从右侧边界穿出。
故比荷较大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
