2015_北京 Paper
12．（18 分）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块（可视为质点）的质量为 m，在水平桌面上沿 x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x 时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
（1）请画出 F 随 x 变化的示意图；并根据 F﹣x 图象求物块沿 x 轴从 O 点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
（2）物块由 $\mathbf { X } _ { 1 }$ 向右运动到 ${ \bf X } _ { 3 }$ ，然后由 ${ \bf X } _ { 3 }$ 返回到 $\mathbf { X } _ { 2 }$ ，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
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（1）根据胡克定律 $F=kx$，可知 $F$ 与 $x$ 成正比，$F-x$ 图象是一条过原点的倾斜直线。
在 $F-x$ 图象中，图线与横轴围成的面积表示力的大小对位移的累积。物块从 $O$ 点运动到位置 $x$ 的过程中，弹簧伸长量为 $x$，弹力方向指向原点（向左），位移方向向右，两者反向，故弹力做负功。
由三角形面积公式可得弹力做功的大小为：
$$ |W| = \frac{1}{2} \cdot x \cdot kx = \frac{1}{2}kx^2 $$
考虑到做功的正负，弹力所做的功为：
$$ W = -\frac{1}{2}kx^2 $$
（2）a. 弹力是保守力，其做功只与始末位置有关，与路径无关。也可以利用弹性势能的变化来求解。
物块由 $x_1$ 运动到 $x_3$，再由 $x_3$ 返回到 $x_2$，整个过程的初位置为 $x_1$，末位置为 $x_2$。
在此过程中，弹力做的总功等于弹性势能的减少量，即：
$$ W_T = E_{p1} - E_{p2} $$
已知弹性势能表达式为 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$，则：
$$ W_T = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2 $$
根据功能关系，弹性势能的变化量 $\Delta E_p$ 等于克服弹力做的功（或弹力做功的负值）：
$$ \Delta E_p = -W_T = \frac{1}{2}kx_2^2 - \frac{1}{2}kx_1^2 $$
b. 滑动摩擦力的大小恒为 $f = \mu mg$，方向始终与相对运动方向相反，因此摩擦力始终做负功。
全过程的路程 $s$ 分为两段：
第一段从 $x_1$ 到 $x_3$，路程 $s_1 = x_3 - x_1$；
第二段从 $x_3$ 到 $x_2$，路程 $s_2 = x_3 - x_2$。
总路程 $s = s_1 + s_2 = (x_3 - x_1) + (x_3 - x_2) = 2x_3 - x_1 - x_2$。
故摩擦力所做的功为：
$$ W_f = -f \cdot s = -\mu mg(2x_3 - x_1 - x_2) $$
比较弹力做功与摩擦力做功可知：
弹力做功仅取决于物体的始末位置（$x_1$ 和 $x_2$），而与中间经过的路径（如是否经过 $x_3$）无关，这种力称为保守力，可以引入相应的势能（弹性势能）。
而摩擦力做功不仅取决于始末位置，还明显依赖于物体运动的具体路径（与 $x_3$ 有关）。若定义“摩擦力势能”，则同一位置将对应多个不同的势能值，这在物理上是没有意义的。因此，摩擦力是非保守力，不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”概念。