如图，在棱长为2的正方体 A B C D - A _ 1…——2021 高考数学第 17 题答案解析

以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
由题意可得各点坐标：
$A(0,0,0), A_1(0,0,2), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), C_1(2,2,2), D_1(0,2,2)$。
因为 $E, F$ 分别为 $BC, CD$ 的中点，所以 $E(2,1,0), F(1,2,0)$。

（I）证明：
计算向量 $\overrightarrow{D_1F} = (1-0, 2-2, 0-2) = (1, 0, -2)$。
平面 $A_1EC_1$ 内的两个向量：
$\overrightarrow{A_1C_1} = (2, 2, 0)$，$\overrightarrow{A_1E} = (2, 1, -2)$。
设平面 $A_1EC_1$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1C_1} = 2x + 2y = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1E} = 2x + y - 2z = 0 \end{cases}$
由第一式得 $y = -x$，代入第二式得 $2x - x - 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$。
令 $z=1$，则 $x=2, y=-2$，故法向量 $\vec{n} = (2, -2, 1)$。
因为 $\overrightarrow{D_1F} \cdot \vec{n} = 1\times2 + 0\times(-2) + (-2)\times1 = 2 - 2 = 0$，
所以 $\overrightarrow{D_1F} \perp \vec{n}$。
又因为 $D_1F \not\subset$ 平面 $A_1EC_1$，
所以 $D_1F // $ 平面 $A_1EC_1$。

（II）解：
直线 $AC_1$ 的方向向量为 $\overrightarrow{AC_1} = (2, 2, 2)$。
设直线 $AC_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 所成的角为 $\theta$，则：
$\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{AC_1}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\overrightarrow{AC_1} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AC_1}| |\vec{n}|}$
$\overrightarrow{AC_1} \cdot \vec{n} = 2\times2 + 2\times(-2) + 2\times1 = 4 - 4 + 2 = 2$。
$|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$。
所以 $\sin \theta = \frac{2}{2\sqrt{3} \times 3} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$。

（III）解：
二面角 $A-A_1C_1-E$ 即平面 $AA_1C_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 的夹角。
平面 $AA_1C_1$ 即平面 $ACC_1A_1$，其法向量可取底面正方形对角线方向。
$\overrightarrow{DB} = (2, -2, 0)$ 垂直于 $AC$，且垂直于 $AA_1$（$z$轴），故 $\vec{m} = (1, -1, 0)$ 是平面 $AA_1C_1$ 的一个法向量。
平面 $A_1EC_1$ 的法向量已求得为 $\vec{n} = (2, -2, 1)$。
设二面角的平面角为 $\alpha$，则：
$\cos \alpha = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|1\times2 + (-1)\times(-2) + 0\times1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \times 3} = \frac{4}{\sqrt{2} \times 3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
所以 $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。