2010_江苏 Paper
13．（15分）如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表和一电阻 R串联后再与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直．一质量为 m、有效电阻为 r的导体棒在距磁场上边界 h 处静止释放．导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为 I．整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻．求：
（1）磁感应强度的大小 B；
（2）电流稳定后，导体棒运动速度的大小v；
（3）流经电流表电流的最大值 $\mathrm { I } _ { \mathrm { m } }$
See explanation
（1）导体棒进入磁场后，电流逐渐减小最终稳定为 $I$，说明导体棒最终做匀速直线运动，处于受力平衡状态。
此时导体棒受到的重力与安培力大小相等，即：
$mg = F_{\text{安}}$
根据安培力公式 $F_{\text{安}} = BIL$，可得：
$mg = BIL$
解得磁感应强度大小为：
$B = \frac{mg}{IL}$
（2）当电流稳定为 $I$ 时，设导体棒的速度为 $v$。
根据法拉第电磁感应定律，导体棒切割磁感线产生的感应电动势为：
$E = BLv$
根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流为：
$I = \frac{E}{R+r} = \frac{BLv}{R+r}$
将第（1）问中求得的 $B = \frac{mg}{IL}$ 代入上式：
$I = \frac{\frac{mg}{IL} \cdot L \cdot v}{R+r} = \frac{mgv}{I(R+r)}$
整理得：
$I^2(R+r) = mgv$
解得稳定后的速度大小为：
$v = \frac{I^2(R+r)}{mg}$
（3）导体棒在进入磁场前做自由落体运动，刚进入磁场瞬间速度最大，此时感应电动势最大，感应电流也最大。
设导体棒刚进入磁场时的速度为 $v_m$，根据机械能守恒定律：
$mgh = \frac{1}{2}mv_m^2$
解得：
$v_m = \sqrt{2gh}$
此时的最大感应电动势为：
$E_m = BLv_m$
流经电流表的最大电流为：
$I_m = \frac{E_m}{R+r} = \frac{BLv_m}{R+r}$
将 $B = \frac{mg}{IL}$ 和 $v_m = \sqrt{2gh}$ 代入上式：
$I_m = \frac{\frac{mg}{IL} \cdot L \cdot \sqrt{2gh}}{R+r} = \frac{mg\sqrt{2gh}}{I(R+r)}$