22．（本小题满分14分）
已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数， $b _ { n } = n ( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n } a _ { n } ~ ( n \in \mathbf { N } _ { + } )$ ， 为自然对数的底数e
（Ⅰ）求函数 $f ( x ) = 1 + x - \mathbf { e } ^ { x }$ 的单调区间，并比较 $( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n }$ 与 的大小；e
（Ⅱ）计算 ${ \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } } , \ { \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } } } , \ { \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } b _ { 3 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } }$ ，由此推测计算 $\frac { b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { n } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } }$ 的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令 $c _ { n } = ( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } ) ^ { \frac { 1 } { n } }$ ，数列 $\{ a _ { n } \} \ , \quad \{ c _ { n } \}$ 的前 项和分别记为n $S _ { n } , T _ { n }$ , 证明： $T _ { n } < e S _ { n }$
（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为(-∞,0)，单调递减区间为(0,+∞). $( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n } < \mathtt { e }$ ；（Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）详见解析.