（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小…——2014 高考数学第 20 题答案解析

(1) 当 $a=4$ 时，
\[ f(x)=\frac{2^x+4}{2^x-4}. \]
令
\[ y=\frac{2^x+4}{2^x-4}, \]
则
\[ y(2^x-4)=2^x+4, \]
整理得
\[ (y-1)2^x=4(y+1), \]
所以
\[ 2^x=\frac{4(y+1)}{y-1}. \]
于是
\[ x=\log_2\frac{4(y+1)}{y-1}. \]
交换 $x,y$，得反函数
\[ f^{-1}(x)=\log_2\frac{4(x+1)}{x-1}. \]
由于 $2^x>0$，需
\[ \frac{4(x+1)}{x-1}>0, \]
解得
\[ x<-1\quad\text{或}\quad x>1. \]
因此反函数的定义域为
\[ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \]

(2) 函数定义域由
\[ 2^x-a\neq 0 \]
决定。

当 $a=0$ 时，
\[ f(x)=\frac{2^x}{2^x}=1, \]
定义域为 $\mathbb R$，且
\[ f(-x)=f(x)=1, \]
所以 $f(x)$ 为偶函数。

当 $a>0$ 时，定义域为
\[ \mathbb R\setminus\{\log_2 a\}. \]
若函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称，因此需要
\[ \log_2 a=0, \]
即
\[ a=1. \]
当 $a\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ 时，定义域不关于原点对称，所以 $f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数。

当 $a=1$ 时，
\[ f(x)=\frac{2^x+1}{2^x-1}, \]
定义域为 $\mathbb R\setminus\{0\}$。对任意定义域内的 $x$，
\[ f(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1} =\frac{1+2^x}{1-2^x} =-\frac{2^x+1}{2^x-1} =-f(x), \]
所以 $f(x)$ 为奇函数。

综上：
\[ a=0\text{ 时为偶函数}; \]
\[ a=1\text{ 时为奇函数}; \]
\[ a\in(0,1)\cup(1,+\infty)\text{ 时既不是奇函数也不是偶函数}. \]