（12分）（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此…——2011 高考数学第 19 题答案解析

（I）由题意，$n=4$，总共有 $2n=8$ 小块地。从中随机选取 $n=4$ 小块地种植品种甲，其余种植品种乙。
第一大块地包含 4 小块地。设 $X$ 为第一大块地中种植品种甲的小块地数目。
$X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$。
总的选法种数为 $\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$。

当 $X=k$ 时，表示从第一大块地的 4 小块地中选 $k$ 块种甲，从第二大块地的 4 小块地中选 $4-k$ 块种甲。
概率计算公式为 $P(X=k) = \frac{\binom{4}{k}\binom{4}{4-k}}{\binom{8}{4}}$。

具体计算如下：
$P(X=0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{4}{4}}{70} = \frac{1 \times 1}{70} = \frac{1}{70}$
$P(X=1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{4}{3}}{70} = \frac{4 \times 4}{70} = \frac{16}{70}$
$P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{4}{2}}{70} = \frac{6 \times 6}{70} = \frac{36}{70}$
$P(X=3) = \frac{\binom{4}{3}\binom{4}{1}}{70} = \frac{4 \times 4}{70} = \frac{16}{70}$
$P(X=4) = \frac{\binom{4}{4}\binom{4}{0}}{70} = \frac{1 \times 1}{70} = \frac{1}{70}$

$X$ 的分布列为：
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & \frac{1}{70} & \frac{16}{70} & \frac{36}{70} & \frac{16}{70} & \frac{1}{70} \\ \hline \end{array} $$

数学期望 $E(X)$ 为：
$$ E(X) = 0 \times \frac{1}{70} + 1 \times \frac{16}{70} + 2 \times \frac{36}{70} + 3 \times \frac{16}{70} + 4 \times \frac{1}{70} $$
$$ E(X) = \frac{0 + 16 + 72 + 48 + 4}{70} = \frac{140}{70} = 2 $$

（II）$n=8$ 时，分别计算品种甲和品种乙的样本平均数和样本方差。

**品种甲：**
数据：403, 397, 390, 404, 388, 400, 412, 406
样本平均数 $\overline{x}_{\text{甲}}$：
$$ \overline{x}_{\text{甲}} = \frac{1}{8}(403+397+390+404+388+400+412+406) = \frac{3200}{8} = 400 $$
样本方差 $s^2_{\text{甲}}$：
$$ s^2_{\text{甲}} = \frac{1}{8} [ (403-400)^2 + (397-400)^2 + (390-400)^2 + (404-400)^2 + (388-400)^2 + (400-400)^2 + (412-400)^2 + (406-400)^2 ] $$
$$ s^2_{\text{甲}} = \frac{1}{8} [ 3^2 + (-3)^2 + (-10)^2 + 4^2 + (-12)^2 + 0^2 + 12^2 + 6^2 ] $$
$$ s^2_{\text{甲}} = \frac{1}{8} (9 + 9 + 100 + 16 + 144 + 0 + 144 + 36) = \frac{458}{8} = 57.25 $$

**品种乙：**
数据：419, 403, 412, 418, 408, 423, 400, 413
样本平均数 $\overline{x}_{\text{乙}}$：
$$ \overline{x}_{\text{乙}} = \frac{1}{8}(419+403+412+418+408+423+400+413) = \frac{3296}{8} = 412 $$
样本方差 $s^2_{\text{乙}}$：
$$ s^2_{\text{乙}} = \frac{1}{8} [ (419-412)^2 + (403-412)^2 + (412-412)^2 + (418-412)^2 + (408-412)^2 + (423-412)^2 + (400-412)^2 + (413-412)^2 ] $$
$$ s^2_{\text{乙}} = \frac{1}{8} [ 7^2 + (-9)^2 + 0^2 + 6^2 + (-4)^2 + 11^2 + (-12)^2 + 1^2 ] $$
$$ s^2_{\text{乙}} = \frac{1}{8} (49 + 81 + 0 + 36 + 16 + 121 + 144 + 1) = \frac{448}{8} = 56 $$

**结论：**
因为 $\overline{x}_{\text{乙}} > \overline{x}_{\text{甲}}$（$412 > 400$），且 $s^2_{\text{乙}} < s^2_{\text{甲}}$（$56 < 57.25$），说明品种乙的平均产量更高，且产量更稳定（波动更小）。
故应该种植品种乙。