已知 a>0，函数 f(x)=a x-x e^ x ． （…——2021 高考数学第 20 题答案解析

（I）$f'(x)=a-(xe^x)'=a-(x+1)e^x$，且 $f(0)=0$，$f'(0)=a-1$。因此曲线在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为
$$y=(a-1) x,(a>0).$$

（II）令 $g(x)=(x+1)e^x$，则 $f'(x)=a-g(x)$。有
$$g'(x)=(x+2)e^x.$$
所以 $g(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 上单调递减，在 $(-2,+\infty)$ 上单调递增。又 $g(-1)=0$，当 $x<-1$ 时 $g(x)<0$，当 $x>-1$ 时 $g(x)>0$，且 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上从 $0$ 递增至 $+\infty$。

因为 $a>0$，方程 $g(x)=a$ 在 $(-1,+\infty)$ 内有唯一解，记为 $m$。当 $x<m$ 时，$g(x)<a$，故 $f'(x)>0$；当 $x>m$ 时，$g(x)>a$，故 $f'(x)<0$。因此 $f(x)$ 仅在 $x=m$ 处取得极值，极值点唯一。

（III）由（II）知，对给定的 $a>0$，$f(x)$ 的最大值为 $f(m)$，其中
$$a=(m+1)e^m,\qquad m>-1.$$
要使 $f(x)\le a+b$ 对任意 $x\in\mathbf R$ 成立，只需且只需
$$f(m)\le a+b,$$
即
$$b\ge f(m)-a.$$
由 $a=(m+1)e^m$，得
$$f(m)=am-me^m=m\bigl((m+1)e^m-e^m\bigr)=m^2e^m,$$
所以
$$f(m)-a=(m^2-m-1)e^m.$$
令
$$h(x)=(x^2-x-1)e^x,\qquad x>-1.$$
当 $a$ 取遍正实数时，$m$ 取遍 $(-1,+\infty)$，故题意等价于存在 $x>-1$，使得 $h(x)\le b$，即
$$b\ge \min_{x>-1}h(x).$$
求导得
$$h'(x)=(x^2+x-2)e^x=(x-1)(x+2)e^x.$$
当 $x\in(-1,1)$ 时，$h'(x)<0$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$h'(x)>0$。因此 $h(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值
$$h(1)=-e.$$
所以 $b\ge -e$。当 $b\ge -e$ 时，取 $m=1$，即 $a=2e$，即可满足条件。

综上，（I）$y=(a-1) x,(a>0)$；（II）证明见解析；（III）$[-e,+\infty)$．