三棱台 ABC - A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，若…——2023 高考数学第 17 题答案解析

(1) **证明**：
连接 $MN$。
因为 $M, N$ 分别是 $BC, BA$ 的中点，所以 $MN$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，故 $MN // AC$ 且 $MN = \frac{1}{2}AC$。
由已知 $AC=2$，得 $MN=1$。
在三棱台 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，上下底面平行，故 $A_1C_1 // AC$。
又已知 $A_1C_1=1$，所以 $MN // A_1C_1$ 且 $MN = A_1C_1$。
因此，四边形 $MNA_1C_1$ 为平行四边形，可得 $A_1N // MC_1$。
因为 $MC_1 \subset$ 平面 $C_1MA$，且 $A_1N \not\subset$ 平面 $C_1MA$，
所以 $A_1N //$ 平面 $C_1MA$。

(2) **解**：
以 $A$ 为原点，分别以 $AB, AC, AA_1$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系。
由题意知 $A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), A_1(0,0,2)$。
因为 $A_1C_1 // AC$ 且 $A_1C_1=1$，所以 $C_1(0,1,2)$。
$M$ 为 $BC$ 中点，则 $M(1,1,0)$。

平面 $ACC_1A_1$ 即为 $yOz$ 平面，其法向量可取 $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$。

设平面 $C_1MA$ 的法向量为 $\vec{n_2} = (x, y, z)$。
$\vec{AM} = (1, 1, 0)$，$\vec{AC_1} = (0, 1, 2)$。
由 $\begin{cases} \vec{n_2} \cdot \vec{AM} = x + y = 0 \\ \vec{n_2} \cdot \vec{AC_1} = y + 2z = 0 \end{cases}$，
令 $z=1$，则 $y=-2, x=2$，故 $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$。

设平面 $C_1MA$ 与平面 $ACC_1A_1$ 所成夹角为 $\theta$，则
$\cos \theta = |\cos \langle \vec{n_1}, \vec{n_2} \rangle| = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|1 \times 2 + 0 + 0|}{1 \times \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$。
故所求夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$。

(3) **解**：
设点 $C$ 到平面 $C_1MA$ 的距离为 $d$。
利用等体积法，$V_{C-C_1MA} = V_{C_1-AMC}$。

计算 $V_{C_1-AMC}$：
底面 $\triangle AMC$ 在 $xOy$ 平面上，$S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 2) = 1$。
高为 $C_1$ 到平面 $ABC$ 的距离，即 $AA_1 = 2$。
所以 $V_{C_1-AMC} = \frac{1}{3} \times S_{\triangle AMC} \times 2 = \frac{2}{3}$。

计算 $\triangle C_1MA$ 的面积：
$\vec{AM}=(1,1,0), \vec{AC_1}=(0,1,2)$。
$|\vec{AM}|=\sqrt{2}, |\vec{AC_1}|=\sqrt{5}$。
$\cos \angle MAC_1 = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AM}| |\vec{AC_1}|} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$。
$\sin \angle MAC_1 = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$。
$S_{\triangle C_1MA} = \frac{1}{2} |\vec{AM}| |\vec{AC_1}| \sin \angle MAC_1 = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3}{2}$。

由 $V_{C-C_1MA} = \frac{1}{3} S_{\triangle C_1MA} \cdot d = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times d = \frac{d}{2}$。
因为 $V_{C-C_1MA} = V_{C_1-AMC}$，所以 $\frac{d}{2} = \frac{2}{3}$，解得 $d = \frac{4}{3}$。
故点 $C$ 到平面 $C_1MA$ 的距离为 $\frac{4}{3}$。