2016_北京 Paper
14．（10分）激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动．激光照射到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用．光镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒
一束激光经 S 点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和②穿过介质小球的光路如图 $\textcircled{2}$ 所示，图中O点是介质小球的球心，入射时光束①和②与SO 的夹角均为θ，出射时光束均与SO 平行．请在下面两种情况下，分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向
a．光束①和②强度相同；
b．光束①比②强度大
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设单个光子的动量大小为 $p$。取水平向右为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向。
光束①和②入射时与水平轴线（SO）的夹角均为 $\theta$，出射时均平行于 SO 向右。
**1. 分析光束对小球的作用力**
根据动量定理，小球对光子的作用力 $\vec{F}_{ball \to light}$ 等于单位时间内光子动量的变化率。
设光束①单位时间内的光子数为 $N_1$，光束②为 $N_2$。
对于光束①（上方光束）：
入射动量分量：$p_{1x} = p \cos\theta$, $p_{1y} = -p \sin\theta$
出射动量分量：$p'_{1x} = p$, $p'_{1y} = 0$
单位时间动量变化量（即小球对光束①的作用力）：
$F_{1x} = N_1 (p - p \cos\theta)$，方向向右
$F_{1y} = N_1 (0 - (-p \sin\theta)) = N_1 p \sin\theta$，方向向上
对于光束②（下方光束）：
入射动量分量：$p_{2x} = p \cos\theta$, $p_{2y} = p \sin\theta$
出射动量分量：$p'_{2x} = p$, $p'_{2y} = 0$
单位时间动量变化量（即小球对光束②的作用力）：
$F_{2x} = N_2 (p - p \cos\theta)$，方向向右
$F_{2y} = N_2 (0 - p \sin\theta) = -N_2 p \sin\theta$，方向向下
**2. 合成小球受到的合力**
根据牛顿第三定律，光束对小球的力 $\vec{F}_{light \to ball}$ 与小球对光束的力大小相等、方向相反。
光束对小球的总作用力 $\vec{F}$ 的分量为：
$F_x = -(F_{1x} + F_{2x}) = -(N_1 + N_2)p(1 - \cos\theta)$
$F_y = -(F_{1y} + F_{2y}) = -(N_1 p \sin\theta - N_2 p \sin\theta) = (N_2 - N_1)p \sin\theta$
由于 $0 < \theta < 90^\circ$，故 $1-\cos\theta > 0$，$\sin\theta > 0$。因此 $F_x$ 恒为负值，即合力在水平方向的分量始终向左。
**a. 当光束①和②强度相同时**
此时 $N_1 = N_2$。
代入 $F_y$ 表达式：
$F_y = (N_1 - N_1)p \sin\theta = 0$
合力只有水平分量，且方向向左。
故合力方向：**水平向左**。
**b. 当光束①比②强度大时**
此时 $N_1 > N_2$。
水平分量：$F_x < 0$，方向向左。
竖直分量：$F_y = (N_2 - N_1)p \sin\theta$。因为 $N_2 < N_1$，所以 $F_y < 0$，方向向下。
合力既有向左的分量，又有向下的分量。
故合力方向：**指向左下方**。