已知椭圆 x^2 a^2 + y^2 b^2 =1(a>b…——2025 高考数学第 18 题答案解析

设椭圆半焦距为 $c$，则 $F(-c,0)$，$A(a,0)$。由离心率 $e=\frac ca=\frac12$，得 $a=2c$。

设 $P(a,t)$。由直线 $PF$ 的斜率为 $\frac13$，有 $\frac{t}{a+c}=\frac13$。代入 $a=2c$，得 $t=c$，即 $P(2c,c)$。

又 $|AF|=a+c=3c$，点 $P$ 到 $x$ 轴距离为 $c$，所以
$\frac12\cdot 3c\cdot c=\frac32$，解得 $c=1$。
于是 $a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

由（1）知 $P(2,1)$，$F(-1,0)$，$A(2,0)$。过 $P$ 的竖直线 $x=2$ 与椭圆只交于 $A$，不符合交点 $B$ 异于 $A$，故设该直线为 $y-1=k(x-2)$，即 $y=kx+1-2k$。

代入 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得
$(3+4k^2)x^2+8k(1-2k)x+4(1-2k)^2-12=0$。
直线与椭圆有唯一交点，判别式为 $0$，化简得
$(1-2k)^2=3+4k^2$，解得 $k=-\frac12$。
故直线为 $y=-\frac12x+2$，与椭圆联立得唯一交点 $B\left(1,\frac32\right)$。

由坐标可得 $k_{FA}=0$，$k_{FP}=\frac13$，$k_{FB}=\frac{3/2}{1-(-1)}=\frac34$。因为 $0<\frac13<\frac34$，射线 $FP$ 位于 $\angle AFB$ 内部，且相关角均为锐角。

于是
$\tan\angle PFA=\frac13$，
且
$\tan\angle BFP=\left|\frac{\frac34-\frac13}{1+\frac34\cdot\frac13}\right|=\frac13$。
所以 $\angle PFA=\angle BFP$，故 $PF$ 平分 $\angle AFB$。