设 ( x _ 1 , y _ 1 ) , ( x _ 2…——2011 高考数学第 9 题答案解析

对于选项 A，线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$ 中，截距 $\hat{a}$ 的计算公式为 $\hat{a} = \overline{y} - \hat{b}\overline{x}$。将其代入回归方程可得 $\hat{y} = \hat{b}x + (\overline{y} - \hat{b}\overline{x})$，整理得 $\hat{y} - \overline{y} = \hat{b}(x - \overline{x})$。显然，当 $x = \overline{x}$ 时，$\hat{y} = \overline{y}$，即回归直线 $l$ 恒过样本点的中心 $(\overline{x}, \overline{y})$，故 A 正确。

对于选项 B，相关系数 $r$ 与回归直线的斜率 $\hat{b}$ 的关系为 $\hat{b} = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$（其中 $s_x, s_y$ 分别为 $x, y$ 的标准差）。除非 $s_x = s_y$，否则两者不相等，且二者物理意义不同，故 B 错误。

对于选项 C，相关系数 $r$ 的取值范围是 $[-1, 1]$。当变量负相关时，$r \in [-1, 0)$；当变量正相关时，$r \in (0, 1]$。题目中断言在 0 到 1 之间忽略了负相关的情况，故 C 错误。

对于选项 D，最小二乘法旨在使残差平方和最小，并不要求分布在直线两侧的样本点数量相等。样本点的分布取决于数据的具体数值，与 $n$ 的奇偶性无必然联系，故 D 错误。