已知 f(x)=x^ 2 -(m+2) x+m ln x,…——2025 高考数学第 19 题答案解析

（1）由 $f(1)=0$ 得 $1-(m+2)+m \ln 1 = 0$，即 $-m-1=0$，解得 $m=-1$。
此时 $f(x)=x^2-x-\ln x$。
不等式 $f(x) \leq x^2-1$ 化为 $x^2-x-\ln x \leq x^2-1$，整理得 $x+\ln x - 1 \geq 0$。
令 $g(x)=x+\ln x - 1$，定义域为 $(0, +\infty)$。
因为 $y=x$ 与 $y=\ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上均为增函数，所以 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
又 $g(1)=1+0-1=0$，
所以当 $x \geq 1$ 时，$g(x) \geq g(1)=0$；当 $0 < x < 1$ 时，$g(x) < 0$。
故不等式的解集为 $[1, +\infty)$。

（2）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，求导得：
$$f'(x) = 2x - (m+2) + \frac{m}{x} = \frac{2x^2 - (m+2)x + m}{x} = \frac{(x-1)(2x-m)}{x}$$
令 $f'(x)=0$，解得 $x_1=1, x_2=\frac{m}{2}$。
若函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上存在极大值，则 $f'(x)$ 必须在某点左侧为正、右侧为负，即方程 $f'(x)=0$ 需有两个不相等的正根，且两根顺序决定极值性质。

① 当 $m \leq 0$ 时，$\frac{m}{2} \leq 0$。
在 $(0, +\infty)$ 上，$2x-m > 0$ 恒成立。
当 $0 < x < 1$ 时，$x-1 < 0$，则 $f'(x) < 0$；
当 $x > 1$ 时，$x-1 > 0$，则 $f'(x) > 0$。
此时 $f(x)$ 先减后增，在 $x=1$ 处取得极小值，无极大值，不合题意。

② 当 $m > 0$ 时，$\frac{m}{2} > 0$，两个驻点均在定义域内。
若 $m=2$，则 $\frac{m}{2}=1$，$f'(x) = \frac{2(x-1)^2}{x} \geq 0$ 恒成立（仅在 $x=1$ 处为 0）。
此时 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 单调递增，无极值，不合题意。

若 $0 < m < 2$，则 $0 < \frac{m}{2} < 1$。
当 $x \in (0, \frac{m}{2})$ 时，$x-1<0, 2x-m<0$，故 $f'(x)>0$；
当 $x \in (\frac{m}{2}, 1)$ 时，$x-1<0, 2x-m>0$，故 $f'(x)<0$；
当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$x-1>0, 2x-m>0$，故 $f'(x)>0$。
此时 $f(x)$ 在 $x=\frac{m}{2}$ 处由增变减，取得极大值，符合题意。

若 $m > 2$，则 $\frac{m}{2} > 1$。
当 $x \in (0, 1)$ 时，$x-1<0, 2x-m<0$，故 $f'(x)>0$；
当 $x \in (1, \frac{m}{2})$ 时，$x-1>0, 2x-m<0$，故 $f'(x)<0$；
当 $x \in (\frac{m}{2}, +\infty)$ 时，$x-1>0, 2x-m>0$，故 $f'(x)>0$。
此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 处由增变减，取得极大值，符合题意。

综上所述，$m$ 的取值范围是 $(0, 2) \cup (2, +\infty)$。