2021_省自主命题（重庆）
17．定高气球是种气象气球，充气完成后，其容积变化可以忽略。现有容积为 $\mathrm { V } _ { 1 }$ 的某气罐装有温度为 $\mathrm { T _ { 1 } }$ 、压强为 $\mathsf { p } _ { 1 }$ 的氦气，将该气罐与未充气的某定高气球连通充气。当充气完成后达到平衡状态后，气罐和球内的温度均为 $\mathrm { T _ { 1 } }$ ，压强均为 $\displaystyle \mathrm { k p } _ { 1 }$ ，k为常数。然后将气球密封并释放升空至某预定高度，气球内气体视为理想气体，假设全过程无漏气。
（1）求密封时定高气球内气体的体积；
（2）若在该预定高度球内气体重新达到平衡状态时的温度为 $\mathrm { T } _ { 2 } \mathrm { : }$ ，求此时气体的压强。
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（1）以气罐和气球内的全部氦气为研究对象。充气前，气体仅存在于气罐中，状态参量为：压强 $p_1$，体积 $V_1$，温度 $T_1$。
充气完成并达到平衡后，气体充满气罐和气球，由于题目指出全过程温度保持 $T_1$ 不变，该过程为等温变化。此时状态参量为：压强 $kp_1$，总体积为气罐容积与气球容积之和，即 $V_1 + V$（设气球体积为 $V$），温度仍为 $T_1$。
根据玻意耳定律 $p_1 V_1 = p_2 V_2$，有：
$$ p_1 V_1 = k p_1 (V_1 + V) $$
消去 $p_1$ 并整理方程：
$$ V_1 = k(V_1 + V) $$
$$ V_1 = k V_1 + k V $$
$$ k V = V_1 - k V_1 = (1 - k)V_1 $$
解得密封时定高气球内气体的体积：
$$ V = \frac{1 - k}{k} V_1 $$
（2）气球密封释放升空后，气球容积变化忽略不计，且无漏气，故气体经历等容变化。
初状态（刚密封时）：压强 $p' = k p_1$，温度 $T' = T_1$。
末状态（预定高度平衡时）：压强设为 $p_2$，温度 $T_2$。
根据查理定律 $\frac{p'}{T'} = \frac{p_2}{T_2}$，有：
$$ \frac{k p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} $$
解得此时气体的压强：
$$ p_2 = \frac{k p_1 T_2}{T_1} $$