如图，在四棱锥 P - A B C D 中，底面ABCD是…——2021 高考数学第 19 题答案解析

（1）在 $\triangle DCM$ 中，$CD = AB = 1$，$CM = \frac{1}{2}BC = 2$，$\angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。
由余弦定理得 $DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2CD \cdot CM \cos 60^\circ = 1 + 4 - 2 = 3$。
因为 $DM^2 + CD^2 = 3 + 1 = 4 = CM^2$，所以 $CD \perp DM$。
又因为 $PD \perp DC$，$PD \cap DM = D$，$PD, DM \subset$ 平面 $PDM$，
所以 $CD \perp$ 平面 $PDM$。
因为 $PM \subset$ 平面 $PDM$，所以 $CD \perp PM$。
又因为底面 $ABCD$ 是平行四边形，$AB \parallel CD$，
所以 $AB \perp PM$。

（2）由（1）知 $AB \perp PM$。又已知 $PM \perp MD$。
在底面 $ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，且 $CD \perp DM$，所以 $AB \perp DM$。
因为 $AB \cap DM$（$AB$ 与 $DM$ 在平面 $ABCD$ 内不平行，必相交），
所以 $PM \perp$ 平面 $ABCD$。
在 $\triangle ABM$ 中，$AB=1, BM=2, \angle ABC = 120^\circ$，
由余弦定理得 $AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2AB \cdot BM \cos 120^\circ = 1 + 4 + 2 = 7$。
在 Rt$\triangle PMA$ 中，$PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{15 - 7} = 2\sqrt{2}$。

如图，以 $M$ 为坐标原点，$\vec{MD}$ 的方向为 $x$ 轴正方向，$\vec{MP}$ 的方向为 $z$ 轴正方向，过 $M$ 且平行于 $DC$ 的直线为 $y$ 轴（使得 $C$ 点 $y$ 坐标为负），建立空间直角坐标系 $M-xyz$。
则 $M(0,0,0)$，$D(\sqrt{3}, 0, 0)$，$P(0, 0, 2\sqrt{2})$。
因为 $CD \perp DM$ 且 $CD=1$，所以 $C(\sqrt{3}, -1, 0)$。
因为 $M$ 是 $BC$ 中点，所以 $B(-\sqrt{3}, 1, 0)$。
因为 $\vec{BA} = \vec{CD} = (0, 1, 0)$，所以 $A(-\sqrt{3}, 2, 0)$。
因为 $N$ 是 $PC$ 中点，所以 $N\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \sqrt{2} \right)$。
所以 $\overrightarrow{AN} = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, \sqrt{2} \right)$。

由（1）知 $CD \perp$ 平面 $PDM$，所以平面 $PDM$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (0, 1, 0)$（平行于 $y$ 轴）。
设直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角为 $\theta$，则
$\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{AN}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\overrightarrow{AN} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AN}| |\vec{n}|} = \frac{|-\frac{5}{2}|}{\sqrt{\frac{27}{4} + \frac{25}{4} + 2} \cdot 1} = \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$。
所以直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$。