（2014）某游戏的得分为1 , 2 , 3 , 4 ,…——2014 高考数学第 13 题答案解析

设得分为 $i$ 分的概率为 $p_i$ ($i=1,2,3,4,5$)。
根据概率分布的性质及期望定义，有：
$$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = 1 \\ 1p_1 + 2p_2 + 3p_3 + 4p_4 + 5p_5 = 4.2 \end{cases} $$
且 $p_i \ge 0$。

将第一个方程两边同乘以 4，得：
$$ 4p_1 + 4p_2 + 4p_3 + 4p_4 + 4p_5 = 4 $$
用期望的表达式减去上式：
$$ (p_1 + 2p_2 + 3p_3 + 4p_4 + 5p_5) - (4p_1 + 4p_2 + 4p_3 + 4p_4 + 4p_5) = 4.2 - 4 $$
整理得：
$$ -3p_1 - 2p_2 - p_3 + p_5 = 0.2 $$
移项可得：
$$ p_5 = 0.2 + 3p_1 + 2p_2 + p_3 $$
因为 $p_1, p_2, p_3 \ge 0$，所以 $3p_1 + 2p_2 + p_3 \ge 0$。
故：
$$ p_5 \ge 0.2 $$
当 $p_1=p_2=p_3=0$，$p_4=0.8$，$p_5=0.2$ 时，满足所有条件且取到最小值。
因此，小白得 5 分的概率至少为 0.2。