12．（20分）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为 r 的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力 $\mathrm { f } { = } \mathrm { k r } ^ { 2 } \mathrm { v } ^ { 2 }$ 其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为 $\rho _ { : }$ ，推导雨滴下落趋近的最大速度 $\mathbf { v _ { m } }$ 与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为 $\mathbf { r } _ { 1 } \mathbf { \cdot } \ \mathbf { r } _ { 2 } \mathbf { \cdot } ( \mathbf { r } _ { 1 } { > } \mathbf { r } _ { 2 } )$ 的雨滴在空气中无初速下落的 v﹣t 图线，其中 ① 对应半径为 $\mathbf { r } _ { 1 }$ 的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v﹣t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S 的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力 $\mathrm { f } \propto$ $\mathrm { v } ^ { 2 }$ （提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为 $\mathbf { m } _ { 0 } )$ ）。
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