19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
②设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_{k} \\ b_{n-1}+2 k, a_{k}<n<a_{k+1}\end{array}, ~ b_{1}=1\right.$ ，其中 $k$ 是大于 1 的正整数．
（i）当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}$ ．
Answer key
①$S_{n}=2^{n}-1$ ②①证明见详解；②$\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}=\frac{(3 n-1) 4^{n}+1}{9}$ ##