已知函数 f(x) = ( 1 x + 1 2 ) ln…——2023 高考数学第 20 题答案解析

（1）对函数 $f(x) = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right) \ln (x + 1)$ 求导：
$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}\ln(x+1) + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right)\frac{1}{x+1} = \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{\ln(x+1)}{x^2}$$
将 $x=2$ 代入导函数：
$$f'(2) = \frac{1}{2\times 3} + \frac{1}{2\times 3} - \frac{\ln 3}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{\ln 3}{4} = \frac{1}{3} - \frac{\ln 3}{4}$$
故曲线在 $x=2$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{3} - \frac{\ln 3}{4}$。

（2）当 $x > 0$ 时，要证 $f(x) > 1$，即证 $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right) \ln (x + 1) > 1$。
整理得 $\frac{x+2}{2x} \ln(x+1) > 1$，即证 $\ln(x+1) > \frac{2x}{x+2}$。
构造函数 $g(x) = \ln(x+1) - \frac{2x}{x+2} \quad (x>0)$。
求导得：
$$g'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{2(x+2) - 2x}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+1} - \frac{4}{(x+2)^2} = \frac{(x+2)^2 - 4(x+1)}{(x+1)(x+2)^2} = \frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}$$
因为 $x > 0$，所以 $g'(x) > 0$，函数 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
又 $g(0) = \ln 1 - 0 = 0$，所以当 $x > 0$ 时，$g(x) > g(0) = 0$。
即 $\ln(x+1) > \frac{2x}{x+2}$ 成立，从而原不等式 $f(x) > 1$ 得证。

（3）记 $h(n) = \ln(n!) - \left(n + \frac{1}{2}\right)\ln n + n$，其中 $n \in \mathbb{N}^*$。
**第一步：证明右侧不等式 $h(n) \leq 1$。**
考察相邻两项之差：
$$ \begin{aligned} h(n+1) - h(n) &= \left[\ln((n+1)!) - \left(n+\frac{3}{2}\right)\ln(n+1) + (n+1)\right] - \left[\ln(n!) - \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n + n\right] \\ &= \ln(n+1) - \left(n+\frac{3}{2}\right)\ln(n+1) + \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n + 1 \\ &= 1 - \left(n+\frac{1}{2}\right)[\ln(n+1) - \ln n] \\ &= 1 - \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{aligned} $$
令 $x = \frac{1}{n}$，则 $x \in (0, 1]$。由第（2）问结论可知，当 $x > 0$ 时，$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right)\ln(x+1) > 1$。
代入 $x = \frac{1}{n}$ 得：$\left(n + \frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > 1$。
所以 $h(n+1) - h(n) < 0$，即数列 $\{h(n)\}$ 单调递减。
故 $h(n) \leq h(1) = \ln 1 - \frac{3}{2}\ln 1 + 1 = 1$。右侧不等式得证。

**第二步：证明左侧不等式 $h(n) > \frac{5}{6}$。**
构造辅助函数 $\varphi(x) = \ln x - \frac{(x+5)(x-1)}{4x+2} \quad (x>0)$。
求导：
$$ \begin{aligned} \varphi'(x) &= \frac{1}{x} - \frac{(2x+4)(4x+2) - (x^2+4x-5)\cdot 4}{(4x+2)^2} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{8x^2+20x+8 - 4x^2-16x+20}{4(2x+1)^2} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{4x^2+4x+28}{4(2x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{x^2+x+7}{(2x+1)^2} \\ &= \frac{(2x+1)^2 - x(x^2+x+7)}{x(2x+1)^2} = \frac{4x^2+4x+1 - x^3-x^2-7x}{x(2x+1)^2} \\ &= \frac{-x^3+3x^2-3x+1}{x(2x+1)^2} = \frac{-(x-1)^3}{x(2x+1)^2} \end{aligned} $$
当 $0 < x < 1$ 时，$\varphi'(x) > 0$，$\varphi(x)$ 单调递增；
当 $x > 1$ 时，$\varphi'(x) < 0$，$\varphi(x)$ 单调递减。
所以 $\varphi(x) \leq \varphi(1) = 0$，即 $\ln x \leq \frac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 对任意 $x>0$ 恒成立。

回到 $h(n) - h(n+1)$ 的表达式：
$$h(n) - h(n+1) = \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) - 1$$
令 $t = 1 + \frac{1}{n}$，则 $t > 1$。利用上述不等式 $\ln t \leq \frac{(t+5)(t-1)}{4t+2}$：
$$ \begin{aligned} h(n) - h(n+1) &\leq \left(n+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{n}+5\right)\left(1+\frac{1}{n}-1\right)}{4\left(1+\frac{1}{n}\right)+2} - 1 \\ &= \frac{2n+1}{2} \cdot \frac{\left(6+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{n}}{4+\frac{4}{n}+2} - 1 \\ &= \frac{2n+1}{2} \cdot \frac{\frac{6n+1}{n^2}}{\frac{6n+4}{n}} - 1 = \frac{2n+1}{2} \cdot \frac{6n+1}{n(6n+4)} - 1 \\ &= \frac{(2n+1)(6n+1)}{2n \cdot 2(3n+2)} - 1 = \frac{12n^2+8n+1}{4n(3n+2)} - 1 \\ &= \frac{12n^2+8n+1 - (12n^2+8n)}{4n(3n+2)} = \frac{1}{4n(3n+2)} \end{aligned} $$
注意到 $4n(3n+2) = 12n^2+8n > 12n(n-1)$ （当 $n \geq 2$ 时），更精确地放缩：
$\frac{1}{4n(3n+2)} < \frac{1}{12n(n-1)} = \frac{1}{12}\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$ 对 $n \geq 2$ 成立。
对于 $n=1$，直接计算 $h(1)-h(2) = 1 - (2-\frac{3}{2}\ln 2) = \frac{3}{2}\ln 2 - 1$。
对于 $n \geq 2$，累加得：
$$ \begin{aligned} h(2) - h(n) &= \sum_{k=2}^{n-1} [h(k) - h(k+1)] < \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{12}\left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) \\ &= \frac{1}{12}\left(1 - \frac{1}{n-1}\right) < \frac{1}{12} \end{aligned} $$
所以 $h(1) - h(n) = [h(1) - h(2)] + [h(2) - h(n)] < \left(\frac{3}{2}\ln 2 - 1\right) + \frac{1}{12}$。
估算数值：$\ln 2 \approx 0.693$，则 $\frac{3}{2}\ln 2 - 1 \approx 1.0395 - 1 = 0.0395$。
$\frac{1}{12} \approx 0.0833$。
总和 $< 0.0395 + 0.0833 = 0.1228 < \frac{1}{6} \approx 0.1667$。
严谨证明 $\frac{3}{2}\ln 2 - 1 + \frac{1}{12} < \frac{1}{6}$：
即证 $\frac{3}{2}\ln 2 < 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}$，即 $\ln 2 < \frac{13}{18}$。
因为 $2^{18} = 262144$，而 $e^{13} \approx (2.718)^{13} > 2.7^{13} > 262144$（或者利用 $\ln 2 < 0.6932 < 0.7222 = 13/18$），不等式成立。
故 $h(1) - h(n) < \frac{1}{6}$，即 $1 - h(n) < \frac{1}{6}$，解得 $h(n) > \frac{5}{6}$。
综上所述，$\frac{5}{6} < h(n) \leq 1$ 得证。