2015_天津 Paper
12．（16分）某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图，皮带在电动机的带动下保持 $\mathbf { V } =$ 1m/s 的恒定速度向右运动，现将一质量为 $\mathrm { m } = 2 \mathrm { k g }$ 的邮件轻放在皮带上，邮件和皮带间的动摩擦因数 $\mu { = } 0 . 5$ ．设皮带足够长，取 $\mathrm { g } { = } 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }$ ，在邮件与皮带发生相对滑动过程中，求：
（1）邮件滑动的时间t；
（2）邮件对地的位移大小x；
（3）邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。
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邮件轻放在皮带上，初速度为0，在滑动摩擦力作用下向右做匀加速直线运动，直到速度达到皮带速度 $v=1\text{m/s}$ 后与皮带保持相对静止。
（1）求邮件滑动的时间 $t$
邮件受到的滑动摩擦力大小为：
$$ f = \mu mg = 0.5 \times 2 \times 10 \text{ N} = 10 \text{ N} $$
根据牛顿第二定律，邮件的加速度大小为：
$$ a = \frac{f}{m} = \mu g = 0.5 \times 10 \text{ m/s}^2 = 5 \text{ m/s}^2 $$
邮件加速至与皮带共速所需的时间为：
$$ t = \frac{v}{a} = \frac{1}{5} \text{ s} = 0.2 \text{ s} $$
（2）求邮件对地的位移大小 $x$
在时间 $t$ 内，邮件做初速度为0的匀加速运动，其对地位移为：
$$ x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.2)^2 \text{ m} = 0.1 \text{ m} $$
或者利用平均速度公式：
$$ x = \frac{0+v}{2}t = \frac{1}{2} \times 1 \times 0.2 \text{ m} = 0.1 \text{ m} $$
（3）求邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功 $W$
在邮件滑动的时间 $t=0.2\text{s}$ 内，皮带以恒定速度 $v$ 运动，皮带对地的位移大小为：
$$ s_{\text{belt}} = vt = 1 \times 0.2 \text{ m} = 0.2 \text{ m} $$
邮件对皮带的摩擦力方向向左（阻碍皮带运动），大小为 $f=10\text{N}$，而皮带位移方向向右。因此，摩擦力对皮带做负功：
$$ W = -f \cdot s_{\text{belt}} = -10 \times 0.2 \text{ J} = -2 \text{ J} $$